2015年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共18分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ） A．3
B．﹣ C．﹣3 D．
2．（3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）某中学篮球队12名队员的年龄如下表所示： 年龄（岁） 人数 4 5 2 1 15 16 17 18 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ） A．15，15 B．15，16 C．16，16 D．16，16.5 4．（3分）不等式组
的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
5．（3分）反比例函数y=的图象位于平面直角坐标系的（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
6．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二、填空题（每小题3分，共18分） 7．（3分）函数y=
的自变量取值范围是 ．
8．（3分）如图，直线a∥b，被直线c所截，已知∠1=70°，那么∠2的度数为 ．
9．（3分）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为 个．
10．（3分）如图，点E是?ABCD的边AD的中点，连接CE交BD于点F，如果S
△DEF
=a，那么S△BCF= ．
11．（3分）如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 m（结果保留根号）．
12．（3分）小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是 折．
三、解答题（13、14、15、16题每题10分，17、18题每题12分，共64分） 13．（10分）（1）计算：（）﹣2+（2）先化简，再求值：（a﹣）÷
﹣2cos60°；
，其中a=
+1．
14．（10分）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′， （1）画出△AB′C′；
（2）写出点B′，C′的坐标；
（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．
15．（10分）为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了 名学生，两幅统计图中的m= ，n= ． （2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男1女的概率是多少？
16．（10分）为了丰富学生的体育生活，学校准备购进一些篮球和足球，已知用900元购买篮球的个数比购买足球的个数少1个，足球的单价为篮球单价的0.9倍．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）如果计划用5000元购买篮球、足球共52个，那么至少要购买多少个足球？ 17．（12分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ． （1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ； （2）如图，延长BP交直线DQ于点E． ①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
18．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，
求线段DQ长度的最大值．
2015年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共18分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ） A．3
B．﹣ C．﹣3 D．
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可． 【解答】解：|﹣3|=3， 故选：A．
2．（3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何体的三视图可以得出几何体，然后判断即可．
【解答】解：根据题意发现主视图和左视图为矩形，俯视图是一个圆，可以得出这个图形是圆柱． 故选B．
3．（3分）某中学篮球队12名队员的年龄如下表所示： 年龄15 16 17 18
（岁） 人数 4 5 2 1 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ） A．15，15 B．15，16 C．16，16 D．16，16.5 【分析】根据表格中的数据，求出众数与平均数即可．
【解答】解：根据题意得：这12名队员年龄的众数为16；平均数为
=16，
故选C
4．（3分）不等式组
的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出解集． 【解答】解：解不等式1﹣x＜2得，x＞﹣1， 解不等式3x≤6得：x≤2， 则不等式的解集为：
．
故选B．
5．（3分）反比例函数y=的图象位于平面直角坐标系的（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【分析】根据反比例函数的图象性质求解． 【解答】解：∵k=2＞0，
∴反比例函数y=的图象在第一，三象限内， 故选A
6．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可． 【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对∴∠ACB=∠AOB=50°， 故选C
二、填空题（每小题3分，共18分） 7．（3分）函数y=
的自变量取值范围是 x≠2 ．
，且∠AOB=100°，
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解． 【解答】解：根据题意得，2﹣x≠0，解得：x≠2． 故答案是：x≠2．
8．（3分）如图，直线a∥b，被直线c所截，已知∠1=70°，那么∠2的度数为 110° ．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由补角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵直线a∥b，被直线c所截，∠1=70°， ∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°． 故答案为：110°．
9．（3分）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为 20 个． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：解得：n=20， 故答案为：20．
10．（3分）如图，点E是?ABCD的边AD的中点，连接CE交BD于点F，如果S
△DEF
=0.2，
=a，那么S△BCF= 4a ．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△EFD∽△CFB，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△EFD∽△CFB， ∵E是边AD的中点， ∴DE=BC，
∴S△DEF：S△BCF=1：4， ∵S△DEF=a，∴S△BCF=4a， 故答案为：4a．
11．（3分）如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 10m（结果保留根号）．
【分析】由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．
【解答】解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°， ∴∠ABC=30°， ∴AC=AB?tan30°=30×∴楼的高度AC为10故答案为：10
12．（3分）小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是 七 折．
．
=10米．
（米）．
【分析】根据函数图象求出打折前后的单价，然后解答即可． 【解答】解：打折前，每本练习本价格：20÷10=2元， 打折后，每本练习本价格：（27﹣20）÷（15﹣10）=1.4元，
=0.7，
所以，在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是七折． 故答案为：七．
三、解答题（13、14、15、16题每题10分，17、18题每题12分，共64分） 13．（10分）（1）计算：（）﹣2+（2）先化简，再求值：（a﹣）÷
﹣2cos60°；
，其中a=
+1．
【分析】（1）分别根据负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=2代入进行计算即可． 【解答】解：（1）原式=4+2﹣2× =6﹣1 =5；
（2）原式==a﹣1， 当a=
+1时，原式=
?
+1﹣1=．
14．（10分）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′， （1）画出△AB′C′；
（2）写出点B′，C′的坐标；
（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．
【分析】（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，然后根据网格结构找出点B、C的对应点B′，C′的位置，然后顺次连接即可； （2）根据图形即可得出点A的坐标；
（3）利用AC的长，然后根据弧长公式进行计算即可求出点B转动到点B′所经过的路程．
【解答】解：（1）△AB′C′如图所示；
（2）点B′的坐标为（3，2），点C′的坐标为（3，5）；
（3）点C经过的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧，路径长即为弧长， ∵AC=4， ∴弧长为：
=
=2π，
即点C经过的路径长为2π．
15．（10分）为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了 120 名学生，两幅统计图中的m= 48 ，n= 15 ． （2）已知该校共有960名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
（3）学校要举办读书知识竞赛，七年（1）班要在班级优胜者2男1女中随机选送2人参赛，求选送的两名参赛同学为1男1女的概率是多少？
【分析】（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数，用总数减去A，C，D类的人数，即可求出m的值，用C类的人数除以总人数，即可得出n的值； （2）用该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数=学校总人数×A类的百分比求解即
可；
（3）列出图形，即可得出答案．
【解答】解：（1）这次调查的学生人数为42÷35%=120（人）， m=120﹣42﹣18﹣12=48， 18÷120=15%；所以n=15 故答案为：120，48，15．
（2）该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数为：960×35%=336（人）， （3）抽出的所有情况如图：
两名参赛同学为1男1女的概率为：．
16．（10分）为了丰富学生的体育生活，学校准备购进一些篮球和足球，已知用900元购买篮球的个数比购买足球的个数少1个，足球的单价为篮球单价的0.9倍．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）如果计划用5000元购买篮球、足球共52个，那么至少要购买多少个足球？ 【分析】（1）设篮球、足球的单价分别为x，y元，列出二元一次方程组，即可求出x和y的值；
（2）由（1）中的单价可列出一元一次不等式，解不等式即可得到至少要购买多少个足球．
【解答】解：（1）设篮球、足球的单价分别为x，y元，由题意列方程组得：
，
解得：
，
答：求篮球、足球的单价分别为100，90元； （2）设至少要购买m个足球，由题意得： （52﹣m）×100+90m≤5000， 解得：m≥20，
所以至少要购买20个足球．
17．（12分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ． （1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ； （2）如图，延长BP交直线DQ于点E． ①如图b，求证：BE⊥DQ；
②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质证明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ； （2）①根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；
②根据等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判断△DEP的形状．
【解答】（1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°， ∴∠BCP=∠DCQ， 在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ；
（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ， ∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE， ∴∠DEF=∠BCF=90°， ∴BE⊥DQ；
②∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，
∴∠CPD=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°， ∴∠EPD=45°，∠EDP=45°， ∴△DEP为等腰直角三角形．
18．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，
求线段DQ长度的最大值．
【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；
（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得
，
解得
．
故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）． ∵S△AOP=4S△BOC，
∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3． 整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0， 解得x=﹣1或x=﹣1±2
．
则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2
，﹣
4）；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得
．
即直线AC的解析式为y=x+3．
设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）， QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+， ∴当x=﹣时，QD有最大值．
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