基于马尔可夫链的企业经济预测与决策(3)

基于马尔可夫链的企业经济预测与决策

π0 ，π1 ，...} 为平稳分布，则
π=πP
3.1.4 若{Xn}为齐次马尔可夫链，则称P（Xn+k=xj∣Xn=xi）为{Xn}从状态xi到状态xj的k步转移概率，记作pij(k)；称以pij(k)（xi，xj∈E）为元素的矩阵为{Xn}的k步转移矩阵，记作P（k），特别地，将一步转移概率和一步转移矩阵分别记为pij和P。
3.2 马尔可夫链的基本特性
3.2.1 通过(1)式可以看出具有马尔可夫性的随机变量Xn所处的状态仅与随机变量所处状态有关，而与前期随机变量Xn+1所处状态无关。
3.2.2 平稳分布性即具有马氏性的概率分布{πi，i∈I}，一定满足 π(i)= ∑πi pij ， i，j=0，1，2，...
其中Pij为该随机过程的状态转移矩阵，I为状态空间的集合。
3.2.3 遍历性。若对于一切i，j∈E，极限lim pij(n)=pj＞0(n→∞)存在，则称该马尔可夫链具有遍历性。马尔可夫链的遍历性说明，不论从哪个状态出发，经过充分大的转移步数后，到达状态j的概率接近于正常数pj。
3.2.4 状态相通性。即具有马尔可夫性的随机过程无论系统初始状态如何，通过有限的转移步数后，一定可以到达同一个状态。用数学表示就是随机过程{X(t)，t∈T}，无论其初始状态是i或者j，经过一定步数后一定可以到达k状态，只是转移的方向和步数不同。
2.3 马尔可夫链模型的矩阵表示
G(n)=G(o)pn (1)
G(n):经过n次转移后，系统的状态概率矩阵
G(o):系统的状态概率矩阵
p:系统的状态转移概率矩阵
n:系统的状态转移次数
若把现象的各个状态也表示在模型之中，则模型(1)可表示为如下的(2)式：
设G(n)=(ai)n ，i=1，2，...，m
G(o)=(bi)n , i=1，2，...，m
pn=pijn
则(ai)n=(bi)n* pijn (2)
公式(2)与(1)表示的含义完全相同，只是更直观一些，其中：i=1，2，...，m表示系统有m个状态。
ai表示各状态概率
(ai)n表示系统经过n次转移后各状态的状态概率矩阵
(bi)0系统的初始概率矩阵
Ij表示系统由状态i转移到状态j。


4 马尔可夫链在经济预测中的应用
　　一个庞大而复杂的经济系统一般总会受到多方面的不确定因素的影响，因此可将它看作一个随机系统，而且这种系统的演变过程往往具有无后效性，这样就可视之为一个马尔可夫链，从而可用有关马尔可夫链的理论来分析企业的各项经济活动[7]。

4.1 市场占有率
　　设某地有1600户居民，某产品只有甲、乙、丙三个厂家在该地销售。经统计，8月份买甲、乙、丙三厂的户数分别为480、320、800。9月份，原买甲的有48户转买乙产品，有96户转买丙产品；原买乙的有32户转买甲产品，有64户转买丙产品；原买丙的有64户转买甲

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