2016届宁夏石嘴山三中高三（上）期末数学试卷（理科）解析版(4)

总计 K=

2

60 50 110 ≈7.8＞6.635，

所以有99%的把握认为环保知识与专业有关 （4分）

（2）不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件M，N，R分别表示小王，小张，小李通过预选，则P（M）=，P（N）=P（R）= （5分）

随机变量X的取值为0，1，2，3 （6分） 所以P（X=0）=P（P（X=1）=P（M

）=××=， +N+

R）=××+××+××=，

，

P（X=2）=P（MN+NR+MR）=××+××+××=P（X=3）=P（MNR）=××=所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P +3×

（10分）

E（X）=0×+1×+2×= （12分）

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的合理运用． 19．（12分）（2014?广东）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E． （1）证明：CF⊥平面ADF；

（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求； （2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可． 【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD， 又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD， ∴AD⊥PC，又AF⊥PC，

∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；

（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°， ∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF， ∴DF=∴CF=∴

，AF=

=

，

=，又FE∥CD， ，∴DE=

，同理可得EF=CD=，

如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，1），E（

，0，0），F（

，，0），P（

，

，0，0），C（0，1，0）

，

设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有

∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），

由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），

设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角， cosθ=|cos＜，

＞|=

=

=

∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：

【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．

20．（12分）（2016?池州一模）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原点O为圆心，

椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使

2

+?为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．

【分析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；

2222

（2）由直线y=k（x﹣2）和椭圆方程，得（1+3k）x﹣12kx+12k﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使【解答】解：（1）由离心率为即c=

a，①

2

2

2

?为定值，定点为（，0）．

，得=，

又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x+y=a， 且与直线所以

所以b=a﹣c=2． 所以椭圆C的标准方程为

+

=1．

2

2

2

相切，

，代入①得c=2，

（2）由

4

2

，可得（1+3k）x﹣12kx+12k﹣6=0，

2

2

2222

△=144k﹣4（1+3k）（12k﹣6）＞0，即为6+6k＞0恒成立． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以x1+x2=

，x1x2=

，

根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0）， 使得则有

为定值，

=（x1﹣m，y1）?（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）?（x2﹣m）+y1y2

2

=（x1﹣m）（x2﹣m）+k（x1﹣2）（x2﹣2）

2222=（k+1）x1x2﹣（2k+m）（x1+x2）+（4k+m） =（k+1）?

2

﹣（2k+m）?

2

+（4k+m）

22

=，

2

2

要使上式为定值，即与k无关，则应3m﹣12m+10=3（m﹣6）， 即

，此时

=

为定值，定点E为

．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．

21．（12分）（2015?贵州模拟）已知函数f（x）=ax+x﹣xlnx（a＞0）．

2

（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx+2x恒成立，求实数b的取值范围； （2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围； （3）当＜x＜y＜1时，试比较与【分析】（1）依题意，1﹣﹣

的大小．

，利用导数可求得g（x）min，从

2

≥b，构造函数g（x）=1﹣﹣

而可求得实数b的取值范围； （2）f′（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范围，对a的范围分情况讨论可由f（x）在定义域上是单调函数，求得实数a的取值范围； （3）由（1）知g（x）=1﹣进一步分析即可得到＜

在（0，1）上单调递减，从而可得，＜x＜y＜1时，．

＜

，

【解答】解：（1）由f（1）=2，得a=1，又x＞0， ∴x+x﹣xlnx≥bx+2x恒成立?1﹣﹣令g（x）=1﹣﹣

2

2

≥b，…（1分）

，可得g（x）在（0，1]上递减，

在[1，+∞）上递增，所以g（x）min=g（1）=0， 即b≤0…（3分）

（2）f′（x）=2ax﹣lnx，（x＞0）， 令f′（x）≥0得：2a≥∴当a≥若0＜a＜

，设h（x）=

，当x=e时，h（x）max=，

时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增…（5分） ，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣，

，x∈（0，

），g′（x）＜0，x∈（

，+∞），g′（x）＞0，

g′（x）=0，x=∴x=

时取得极小值，即最小值．

时，g（

）=1﹣ln

＜0，

而当0＜a＜

f′（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调…（8分） ∴a≥

…（9分）

在（0，1）上单调递减，

＜

…（10分）

（3）由（1）知g（x）=1﹣

∴＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即而＜x＜y＜1时，﹣1＜lnx＜0，

∴1+lnx＞0， ∴＜

…（12分）

【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查函数的单调性与导数的关系，突出分类讨论思想在分析解决问题中的应用，属于难题． 22．（10分）（2014?长春一模）选做题：几何证明选讲

如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．

（1）求证：E是AB的中点； （2）求线段BF的长．

【分析】（1）根据∠CDO=∠FDO，BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到

，即∠CDO=

∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．

（2）根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段． 【解答】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO， 因为BC是的切线，且CF是圆D的弦， 所以

，即∠CDO=∠BCE，

故Rt△CDO≌Rt△BCE， 所以

．…（5分）

所以E是AB的中点． （2）解：连接BF，

∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB ∴△FEB∽△BEC， 得

，

∵ABCD是边长为a的正方形， 所以

．…（10分）

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