有关群的相关问题探究(3)

有关群的相关问题探究

（3）消去律，若ax?ax?，那么x?x?;

若ya?y?a，那么y?y?,

定义2.1.2.2 若一个有限群的元的个数为n，则n叫做这个群的阶，记为G?n.无限群的阶称为无限，大于任意的正整数．

定义2.1.2.3[8] 设a是群G的一个元，若存在使am?e的最小正整数m，就把m叫做a的阶；若不存在这样的m，即对于任意正整数n，都有an?e，则称a的阶无限．元素a的阶常用a表示．

性质2.1.2.1 一个有限群的每一个元的阶是有限的．

证明:设G?n,?a?G,且a?e.则

a0,a1,a2,?,an?1,an?G

从而存在正整数i,j，i?j，使得ai?aj，于是有aia?i?aj?i，即aj?i?e.故存在正整数j?i使得aj?i?e成立.因此，一定存在最小的正整数m，使得am?e成立，即a的阶有限．

性质2.1.2.2 在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数．

证明:设G是一个有限群.对任一a?G，且a?n?2,有a?e,?anm?1n??e.设正整

数m?n，?a?1??e，同样可得am?e，这与a?n矛盾．因为a?1?n得出a?1?a，所以 a2?aa?1?e.这与n?2矛盾，这样，就有a和a?1两个元不同的阶大于2. 设任一

b?G，且b?a,b?a?1，b?2，同样b?1?2，由e?aa?1?bb?1，b?a可得b?1?a?1.

所以，除a和a?1外，还有一对不同的阶大于2的元b和b?1．因此在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数． 性质2.1.2.3[7] 设群G中元素a的阶是n，则am?e?n/m.

0?r?n，因此可得 证明:设am?e，并令m?nq?r， e?am?anq?r?(an)qar??e??ar,

q0?r?n，所以n/m.反之，设n/m，因为a?n,0?r?n，所以得出r?0.又m?nq?r，

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且令m?nq，a?n，则am?(an)q?e.由此可知，a?n?an?e且若am?e,则n/m. 性质2.1.2.4 设G是一个有限群，a?G，则

aG．

证明:设a是有限群G的一个n阶元素，则H??e,a,?,an?1?是G的一个n阶子群，易知a?n整除群的阶G，即

n. G2.2 子群

定义2.2.1 群G的一个子集H叫做G的一个子群，如果它对于群G的运算也构成一个群．

例2.2.1 G是一个群，?e??G ，G?G.

例2.2.2 正有理数乘群是非零有理数乘群的一个子群，正实数乘群又是非零实数乘群的子群．

定理2.2.1[7] 群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是: (1)a,b?H?ab?H; (2)a?H?a?1?H.

证明:1) 封闭性，由(1)知运算封闭．因为H?G，所以G的代数运算也就是H的代数运算，所以有a,b?H?ab?H成立;

2)结合律，因为G满足结合律，所以H也满足结合律;

3)在H中至少有一个元a，由(2)，H总也有元a?1，由(1)，所以有aa?1?e?H; 4)对?a?H，有a?1?H，使得aa?1?e， 所以H是G的子群．

定理2.2.2[7] 群G的非空子集H作成子群的充要条件是：a,b?G?ab?1?G.

证明:设H?G，若a,b?H，由定理2.2.1中(1)，知b?1?H，从而ab?1?H.若

a,b?H，ab?1?H.特别地，取b?a?H，则aa?1?e?H;取a?e?H，则

?11ab?e?b??1b?.H于是有(2)成立．若a,b?H，有b?1?H，ab?a(b?1)?1?ab?H，

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所以成立．

定理2.2.3[7] 群G的一个非空有限子集H作成子群的充要条件是:a,b?G?ab?G. 证明: 1)代数运算封闭;

2)G中的运算满足结合律，因此H中的运算也满足结合律; 3)G中的运算满足消去律，因此H中的运算也满足消去律, 所以，H?G.

例2.2.1 设G是一个群，并且

Z(G)??a?G(?b?g)ab?ba?, 容易证明Z(G)?G，称Z(G)为G的中心．

性质2.2.1 设G是群，H1,H2?G,则H1?H2?G．

证明:设H1?G，H2?G且H1?H2??.令单位元e?G，那么e?H1,e?H2，则

e?H1?H2.对?a,b?H1?H2，有a,b?H1，a,b?H2,由a?b?1?H1，a?b?1?H2，

得(H1?H2)?G.因此，群G的两个子群的交?H1?H2?是群G的子群． a?b?1?H1?H2，

性质2.2.2(拉格朗日定理) 设H是有限群G的一个子群,如果G?N,H?n,并且?G:H??j,那么N?nj.

证明:因为G?N是有限整数,H?n也是有限整数,所以?G:H??j也是有限整数.由?G:H??j可知H在G被分成个左陪集或右陪集,其中G的左陪集分解为

G=a1H?a2H?a3H???ajH,

则a1H=a2H=a3H=?=ajH=H?n,所以G?ajH?j,即N?nj.

2.3 正规子群

定义2.3.1[7] 设H是群G的一个子群，a?G.则称群G的子集aH??axx?H?为

G关于子群H的一个左陪集.而称Ha??xax?H?为群G关于子群H的一个右陪集.

我们得出了陪集的定义，陪集还有一些重要的性质. 1)a?aH;

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2)a?H?aH?H; 3)b?aH?aH?bH;

4)aH?bH，a,b都在左陪集的; 5)若aH?bH??，则aH?bH;

6)一个子群的右陪集的个数与左陪集的个数相等，它们要么都是无限大，要么都是有限且相等;

7)一个子群H与H的每一个左陪集Ha之间都存在一个一一映射的关系[7]． 定义2.3.2[7] 一个群G的一个子群N叫做一个正规子群，假如对于G的每一个元a都有Na?aN ，即aNa?1?N，则称N是G的一个正规子群，记为N?G. 设N?G，又N?H?G，那么显然N也是H的一个正规子群．群G的平凡子群e与G，都是G 的正规子群，并且称其为群G的平凡正规子群． 定理2.3.1[4] 群G的一个子群N是一个正规子群的充分必要条件是：对

?a?G,aNa?1?N.

定理2.3.2[4] 群G的一个子群N是一个正规子群的充分必要条件是:?a?G,?n?N?ana?1?N．

注[7]:正规子群的正规子群不一定是原来那个群的正规子群．

群G的一个正规子群N的全体陪集所作成的一个群，就叫做G关于N的商群，用符号GN来表示.这是商群的定义. 例2.3.1 设G是一个群，则Z(G)?G.

性质2.3.1 设G是群，H1,H2?G,则H1?H2?G．

证明:设H1，H2是G的两个正规子群，H1?G，H2?G且H1?H2??,则对任一

a?G，任一n?H1,n?H2,所以n?H1?H2.又ana?1?H1，ana?1?H2，所以

ana?1?H1?H2，由a?G,n?H1?H2，得ana?1?H1?H2，H1?H2?G.所以,H1?H2是群G的正规子群．

性质2.3.2 群G的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群;两个正规子群的乘积仍然是一个正规子群．

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2.4 共轭

定义2.4.1[9] 设G是群，a,g?G，我们规定ag?g?1ag，并称ag为a在g之下的共轭变形．对于G的子群或子集H，我们同样规定Hg?g?1Hg，也叫做H在g下的共轭变形．

共轭变形运算满足以下几条: (1)agh?(ag)h； (2)(ab)g?agbg； (3)(ag)?1?(a?1)g．

如果存在元素g?G，使得ag?b，则称群G的元素a,b在G中共轭.如果存在元素

g?G，使得Hg?K，则称群G的子群或子集H,K在G中共轭.

性质2.4.1 共轭关系都是等价关系.

设G是一个群，根据群G的所有元素的共轭关系可以分成多个互不相交的等价类(共轭类)C1,C2,?,Ck，且G?C1?C2???Ck，其中G的类方程为

G?C1?C2???Ck，k为G的类数，共轭Ci类包含的个数Ci叫Ci的长度. 性质2.4.2[9] 设G是一个群，H是G的一个子集，g?G，若Hg?H，则称元素g正规化H，而称G中所有正规化H的元素的集合NG?H??g?GHg?H为H在

G中的正规化子.

?? 性质2.4.3[9] 若元素g对所有h?H都恒有hg?h，则称元素g中心化H，而称G,?h?H为H在G中的中心化中所有中心化H的元素的集合GG?H??g?Ghg?h??子.

其中规定Z?G??GG?G?为群G的中心.

2.5 群的同态与同构

设G与G是两个群，若G到G的映射?保持运算，即 ?a,b?G,?(ab)??(a)?(b)

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