有理数整理

有理数

考点1、正数和负数 正数：大于零的数

负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数）

注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点

②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数

例1、 向北走2000米与向南走1000米，若规定向北走为正，则向北走2000米可记作 ，向南走1000米，原地不动课记作

例2、 七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作—15分，—4分，0分，4分，15分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？

例3、 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第15个、第101个、第2010个的

数是什么？ 1）、—1、—2、+3、—4、—5、+6、—7、—8、 、 、 ?? 2）、—1、

12141218、—3、、—5、、—7、、 、 、 ……

易错点：

1、 误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数 例：a一定是正数吗？

2、 对于“0”的含义理解不准确

例：下列说法错误的是（ ）

A、0是自然数 B、0是整数 C、0是偶数 D、海拔0米表示没有海拔 考点2、有理数 1、有理数的分类 ???整数?按定义分：有理数???分数????正整数?正有理数??0???负整数 按性质符号分：有理数?0???正分数?负有理数???负分数??正整数??正分数

?负整数??负分数注意：1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。 2、0是整数不是分数

例1、把下列各数填在相应的集合内： π，?149整数集合：｛ ?｝

，-3，2，-1，-0.58，0，-3.14，?13，0.618，10

分数集合：｛ ?｝ 非负数集合：｛ ?｝ 例2、下列说法正确的是（ ）

A 有理数分为正数和负数 B 有理数-a一定表示负数 C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D 有理数包括整数和分数

1

2、数轴（重点）

定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线 数轴的含义：

（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸

（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可

（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。

（4）同一数轴的单位长度必须一致 例1、图中哪 一个表示数轴？并说出理由。

例2、请画出一条数轴，在并且在数轴上标出下面的有理数：3，-2，-3.5，

32

，0，+2，，0.5.

例4、 如图所示，在数轴上，点A,B,C,D依次表示1.5，-2，2，-2.5。说出个点与原点的位置关系以及

与原点的距离是多少个单位长度？

DB-3-2-2.5-101AC21.53

例5、如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点A表示的数为（ ）

A、30 B、50 C、60 D、80

例6、如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为___________

例7、文具店、书店和玩具店一次坐落在一条笔直的东西走向的大街上，文具店位于书店西边20m处，玩具店位于书店东边100m处。小明从书店沿街向东走了40m，接着又向东走了60m，你知道此时小明的位置在哪吗？

例8、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，求

aa?bb?cc的值

c0ba2

3、 相反数（重点）

定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。（在数轴上分别位置原点的两侧，到原点的距离相等的两个点．．．．．．．所表示的数叫做互为相反数。）

相反数的表示方法及多重符号的化简： ?当a?0,则－a?0?（1）?当a?0,则?a?0

?当a?0,则?a?0?例1、有理数（A）

1313的相反数是（ ）

13 （B）? （C）3 （D） –3

例2、a的相反数是 ， -a的相反数是 ， 0的相反数是 例3、、若a和b互为相反数，则a+b=

例4、如果a?b?0，那么a，b两个实数一定是 （ ）

A.都等于0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数 例5、如果a与1互为相反数，则|a?2|等于（ ）

A．2 B．?2 C．1 D．?1 4、绝对值（难点）

绝对值的定义：数轴上表示a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记为 ∣a∣，读作：a的绝对值 因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数（0的绝对值是0）

绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身 2）一个负数的绝对值是它的相反数 3）0的绝对值是0 绝对值的计算规律：

（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等 （2） 若a?b，则a=b或a=-b； （3） 若a?b?0,则a?0,b?0 例1、如果| -a | = -a，下列成立的是（ ） A .a<0 B.a≦0 C.a>0 D.a≧0 例2、 的绝对值是8。

例3、若b?1?1，则b= ，若a?6?0,则a? ，若a??a，则a 0 例4、若a?3,b?5，则a?b等于（ ）

3

A、2 B、8 C、2或8 D、?1或?8 例5、已知ab?2??b?1??0

2(1) 求a,b的值 (2) 求b1ab2008?a?????2?12008的值

求

??a?1??b?1??a?2??b?2?12?1?13?12?14?13?1????1?a?2008??b?2008?1100?199

例6、计算：

?????

例7、?35??21??27 （2）?345?45??312

例8、根据a?0，解答下列问题

（1）当x为何值时, x?2有最小值？最小值是多少？ （2）当x为何值时, 3?x?4有最大值？最大值是多少？

例9、已知某零件的标准直径是10mm，超过规定直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足规定直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如下表： 序号 1 2 直径长度+0.1 -0.15 （mm） （1） 试指出哪件样品的大小最符合要求；

3 +0.2 4 -0.05 5 +0.25 （2） 如果规定偏差的绝对值在0.18mm之内是正品，偏差的绝对值在0，18mm—0.22mm之间是次品，

偏差绝对值查过0.22mm是废品，那么上述5件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？

易错点：1、画数轴时，缺少要素

2、误认为a?a，则a>0;若a??a，则a<0

例：已知a??a，则a的值是（ ） A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数 3、相反数和倒数的定义相混淆

5、有理数的大小比较

（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数 （2）两个负数，绝对值大的反而小

4

例1、比较下列有理数的大小

43-（-5）和-?5 -（+3）与0 ?5与??4 ??与??3.14

例2、若m>0，n<0，且|m|>|n|，用“>”把m、?m、n、?n连接起来。

考点3、有理数的加减（重难点）

1、有理数加法

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得零； （4）一个数与零相加，仍得这个数。

例1、如果两个有理数的和是正数，那么这两个数（ ）。 A. 都是正数

B. 一个是正数，一个是零

C. 两个数异号，且正数的绝对值较大 D.以上三种情况都有可能 例2、简单计算 （1）???31?； （2?4.5??6.7?25?17?5??12??2?????4.5?）????； （3）??； （4）???13??????13??

（5）（-51）+（+37）； （6）（+15）+（-15）； （7）（+4.25）+???11?； （8）?1??1??4????4?3?????2?3??（9）15+0 ；（10）-4.7+0 ；（11）0+0 例3、复杂有理数计算

（1）（+26）+（-14）+（-16）+（+18） （2）?213?5.5?213

(3)156?(?27)?(?56)?(?7)(4)? ??31??2??????41??7??3??????6??

5

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