有关群的相关问题探究

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摘 要

群论是代数学的重要组成部分，群作为一个非常重要的研究对象，其应用已经发展到各个学科领域，本文对群的相关基本概念和性质进行了探究．首先介绍了群的由来和发现；然后给出群的几个等价定义及其证明，并且对子群、正规子群、共轭、Sylow子群、同态和同构等重要概念及相关性质进行了探讨；最后对交换群、循环群、变换群、二面体群和四元数群等几类特殊的群的构造和相关性质进行了探讨． 关键词：群；子群；正规子群；Sylow子群；二面体群； 四元数群.

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Abstract

The group theroy is an important part of algebra. As a very important research subject, the applications of groups has been developed to various disciplines. In this paper, the related concepts and properties of the group are discussed. Firstly, the origin and discovery of groups are introduced. Secondly, the several equivalent definitions and proofs of the group are given, and then some important concepts and properties of the group are discussed , such as subgroups, normal subgroups, conjugate, sylow subgroups, homomorphics and isomorphics, and so on. Finally, the structures and properties of the abelian groups, cyclic groups, transformation groups, Dihedral group and Quaternion group are analyzed.

Keywords: group; subgroup ; normal subgroup; Sylow subgroup; Dihedral group;

Quaternion group

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目 录

第一章 群的由来和发现……………………………………………………………1 第二章 群的基本概念………………………………………………………………3 2.1 群的定义…………………………………………………………………………3 2.1.1群的等价定义及其证明……………………………………………………3 2.1.2群的阶及元素的阶…………………………………………………………7 2.2 子群………………………………………………………………………………9 2.3 正规子群…………………………………………………………………………10 2.4 共轭………………………………………………………………………………12 2.5 同态与同构………………………………………………………………………12 2.6 Sylow子群………………………………………………………………………13 第三章 几类特殊的群………………………………………………………………14 3.1 交换群……………………………………………………………………………14 3.2 循环群……………………………………………………………………………15 3.3 变换群和置换群…………………………………………………………………16 3.4 线性群……………………………………………………………………………18 3.5 二面体群…………………………………………………………………………19 3.6 四元数群…………………………………………………………………………19 3.7 欧式空间的正交变换群…………………………………………………………20 参考文献………………………………………………………………………………22 谢辞…………………………….………………………………………………………. 23

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代数学是数学的一部分，而群论又是近世代数的重要研究对象，群是现代代数最基本和最重要的概念之一．数是数学研究的基本对象，数的基本运算与各种性质组成一个代数系统，因此群论的研究就变得非常有意义.对于群的概念，虽然定义很简单，但只有真正理解了才能深刻体会到探究群的意义及其重要性.群已经渗透到了各个数学学科分支，群与数、高等代数、线性方程、几何等都有联系与应用，甚至与物理中的运动群，晶体群，量子力学都有应用研究，群论已经成为了研究对称性的有力工具．

第一章 群的由来与发现

群的发现追溯于19世纪代数中高次方程求解的问题，群概念的发现时代数学的一

个新突破．由于代数对象出现扩张，导致群的发现，除了伽罗瓦的有限置换群，克莱因的无限置换群，还有离散的群、无限群、连续群．随着研究的逐步深入，数学家们慢慢认识到代数系统中的元素有代数运算及其规则，于是得出了群的普遍概念． 关于群的概念是有法国数学家伽罗瓦首先提出来的，当时是为了解决代数高次方程根式解的问题，形如xn?a1xn?1???an?0(n?5)的代数方程．其最初的萌芽是由猜测的提出与论证所产生出来的，拉格朗日第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上的方程”，但是从中看出方程的根与置换的关系，第一个提出了预解式的概念．以一元二次方程为例:

二次方程 ax2?bx?c?0

的求根公式显然b2?4ac?x1?x2，则??x1?x2??x1?x2称ax2?bx?c?0的预解式，结合韦达定理得出：

?2??b2?4ac??0

所以得出

??b2?4ac

拉格朗日还研究出三次方程和四次方程的预解式，但当解决五次方程时，他发现这种方法行不通了，于是当时的数学家就怀疑有可能是五次以上的代数方程根本不存在根式求解[1]．在预解式的研究中，拉格朗日第一次正确地指出方程的根的排列与置换的理论，也是解五次以上代数方程的关键所在．后来挪威数学家阿贝尔证明了对于一般的五次方程和五次以上的方程根式解不可能．后来法国数学家伽罗瓦就解决这样一个问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解? 于是就在他的论文中，建立了判别方程根

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式可解的充分必要条件. 伽罗瓦证明了方程根式解的充分必要条件是方程的群为可解群. 其思想是将一个n次方程

xn?a1xn?1?a2xn?2???an?0

的n个根x1,x2,?,xn作成一个整体，将它们进行排列，也就是进行置换．这些置换的全体构成的集合，并且其中任意两个置换的乘积在这个集合内，伽罗瓦称为“群”，即方程的置换群，称之为“伽罗瓦群”，其中伽罗瓦提出的群的概念并不是现在我们所说的抽象的群概念，而是置换群的概念[2]．这是数学史上最早的“群”的定义．伽罗瓦就是根据他所提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的，伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件，即方程的群是可解群，方程才是根式可解的[2]．伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性，一直到现在群都是作为研究对称性的有力工具．伽罗瓦的工作是代数学的新开端，最重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容、方法上的深刻变革．

到19世纪后半叶，数学家们又认识到，“群”可以是一个更加普遍的概念，而不仅仅限于置换群[2]．从拉格朗日建立置换概念，伽罗瓦成功地运用群的性质解决方程根式解问题起，群概念作为一种思想与基本工具，已逐步成为数学研究的一种常用手段与方法[3]．伽罗瓦提出群概念后，英国数学家凯莱就意识到群的一般性，于1949年引入“抽象群”的概念，他指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都可构成群，于是具体群的研究有了较深入广泛的发展．凯莱之后，德国数学家戴德金又一个给出了抽象群定义，他由置换群出发引导出有限群的抽象定义，还给出了抽象的有限交换群的定义．1870年，数学家克隆尼克类似凯莱抽象群概念给出了相当于有限Abel群的抽象定义．他规定了抽象的元素和抽象的运算，说明运算具有封闭性、结合性和交换性以及一元素的逆元存在且唯一[1]．其中一位法国数学家若尔当给出了许多重要的抽象代数的概念，比如：商群、同构、同态、Abel群等，他还在物理学家布拉维斯关于运动群的理论的启发下开展了无限群的系统的研究[3]．这有影响了克莱因对无限变换群的研究，以及挪威数学家李又研究了无限连续变换群，也就是李群的研究．

19世纪末，数学家们已经对各类不同的群的研究有了一定的积累，已基本认清了群的本质，群作为整体它是具有某种联系的元素的一个集合，我们无需认识这些元素是什么，也无需知道具体是哪一种联系，只需明确这些元素间的联系具备怎样的基本规则，于是就形成了抽象群的概念[3]．经过抽象定义的群，群是一个这样的集合，带有

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