1011高数期中模拟--详细解答[1]

高等数学A(上)期中测验题 2010.11.17

一、 填空题（2分×5＝10分）： 1．设f(x)?n!1，则f(n)(x)= n?11?x(1?x)?x2???lim?ax?b2．已知??0，则常数a, b分别为 a=1,b=－1 . x???x?1??xb1x2?a?)?0 ?a?1 【解】 lim(?ax?b)?0 即 lim(x??x?1x??xx?1xx2x2?x2?xb?lim(?x)?lim??1

x??x?1x??x?13. f(x)?x4?2x3?1在x0?2处的泰勒展开式为 。

?(2)?(4x3?6x2)|x?2?8,f??(2)?(12x2?12x)|x?2?24,ff(2)?1【解】 ， f???(2)?(24x?12)|x?2?36,f(4)(2)?24,n?4,f(n)(x)?0，所以

111f??(2)(x?2)2?f???(2)(x?2)3?f(4)(2)(x?2)42!3!4!?1?8(x?2)?12(x?2)2?6(x?2)3?(x?2)4 f(x)?f(2)?f?(2)(x?2)?4. 设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?2010)，则df|x?0? 。

【解】f?(0)?{(x?1)(x?2)?(x?2010)?x[(x?1)(x?2)?(x?2010)]?}|x?0?2010! df|x?0?f?(0)dx?2010!dx 或者

f(x)?f(0)x(x?1)(x?2)?(x?2010)?0?limx?0x?0x?0x?0

?lim(x?1)(x?2)?(x?2010)?2010!f?(0)?limx?0df|x?0?f?(0)dx?2010!dx

5. 若f(x)在x=0点连续，且limx?0f(x)?1，则f(0)= 0 及f?(0)? 1 . xx?0x?0 【解】 由f(x) 在x=0点连续 f(0)?limf(x)?lim f?(0)?limx?0f(x)?x?0 xf(x)?f(0)f(x)?lim?1 x?0x?0x二、单项选择题（2分×5＝10分）：

1．当x?0时，下列无穷小量中与x不等价的是（ D ）；

ln(1?x2)（A）x?10x；(B)；(C)ex?2x2?1；(D)sin(2sinx?x2)。

x2sin(2sinx?x2)2sinx?x2?lim?2?1 【解】 limx?0x?0xx第 1 页 共 5 页

2. x?1是函数y?arctan1的（ B ）间断点。 1?x（A）可去； （B）跳跃； （C）无穷； （D）振荡。

arctan【解】 lim?x?11?1?? lim?arctan?? ?f(1?)?f(1?) 1?x2x?11?x23．已知f(x)???asinxx?0，当a, b为何值时，f(x)在x?0处连续、可导。（ C ）

ln(b?x)x?0?（A）a=1, b= -1；（B）a= -1, b=1；（C）a=1, b=1；（D）a= -1, b= -1。 4. 设f(x)可导，且满足limx?0f(1)?f(1?x)??1，则曲线y?f(x)在?1,f(1)?处的切线斜率为

2x（ B ）。

（A）2 ； （B）-2 ； （C）

1； （D）-1。 2【解】 ?1?limx?0f(1)?f(1?x)1f(1?x)?f(1)1?lim?f?(1) ?k?f?(1)??2

x?02x2?x2x?05. 设f(x)具有二阶连续导数，且f?(0)?0，limf??(x)。 ?1，则（ B ）

x（A）f(0)是f(x)的极大值； （B）f(0)是f(x)的极小值；

（C）?0,f(0)?是曲线y?f(x)的拐点； （D）f(0)不是f(x)的极值，?0,f(0)?也不是曲线的拐点。

00f??(x) 【解】 因为 lim?1 所以由极限的保号性 ?U(0,?) f??(x)?0 ，故在U(0,?)内f?(x)

x?0x 单调增加， 由此当x<0时，f?(x)?f?(0)?0，当x>0时f?(x)?f?(0)?0.f(0)是f(x)的极小值。 三、计算下列极限 （5分×5＝25分）

x2?1x21．lim(2)

x??x?1【解】解法一：原式?lim[(1?x??2)x2?1?x2?1?2x2]x2?12?e?2 。

?2?2x222x22x2?x?lim2??2，原式?lim(1?2解法二：原式?lim(1?2) 由 lim2)?e?2

x??x?1x??x?1x??x??x?1x?11(1?2x2x解法三：原式?lim()?lim1x??x??1?2(1?x1?1x2)e?1x2??e?2 1x2e)2x1?x?tanxx?tanx1?sec2x?tan2x1?12．lim? ?2??lim2?lim?lim?lim??322x?0xtanxx?0xtanxx?0x?0x?03xx3x3x??第 2 页 共 5 页

3．lim(sinx??11x2?cos)； 2xx【解】

12设t?, 原式=limsint?costt??x??12tsint2?cost?1=e=e， 其中k=lim=1－1/2=1/2. 2t??tk12(cosx?sinx)2x?14．lim

x?0xsinx【解】解法一：

(cosx?sinx)2x?1e2xln(cosx?sinx)?12xln(cosx?sinx)2ln(cosx?sinx)lim?lim?lim?limx?0x?0x?0x?0xsinxxsinxxx2?2limcosx?sinx?2x?0cosx?sinx

解法二：

(cosx?sinx)2x?1(cosx?sinx)2x?1e2xln(cosx?sinx)?1lim?lim?limx?0x?0x?0xsinxx2x2?lime2xln(cosx?sinx)x?02ln(cosx?sinx)?2x(cosx?sinx)cosx?sinx?limln(cosx?sinx)?limcosx?sinxx?0x?0cosx?sinx2xx?limcosx?sinx?1?1?1?2x?0cosx?sinx

1x(2t?1)et?111t1et?1t 5．lim[(2?x)e?x]令t?lim[(2?)e??lim?lim(2e?)?2?1?3.

x??t?0t?0t?0xtttt四、计算下列函数的导数或微分（5分×6＝30分）.

x?ex1. 设y?，求y?.

tan3x(1?ex)tan3x?3(x?ex)sec23x【解】 y??

tan23x2. 设y?xln(x?1?x2)，求dy. 【解】 dy?[ln(x?1?x2)?x1?x2]dx

3. 设y?ax?xa?aa?xx，求y?.

1a?1x1111【解】 y??x?a?lna?(?2)?xx(?2lnx?2) y??xaxxxa4. 设e?6xy?x?ln2?0，求y?y2y211?aax?ax2?lna?x1?2x(1?lnx)

x?0和y??x?0.

【解】 先将e?6xy?x?ln2?0两端对x求导，再

将x=0, y=lnln2代入ey??6y?6xy??2x?0 （*）得到，y???第 3 页 共 5 页

y6lnln2 ln2

（*）两端再次对x求导得到， eyy?2?eyy???6y??6y??6xy???2?0

6lnln2?2ln2?72lnln2?36(lnln2)2将x=0, y=lnln2，y???代入上式得到，y??(0)?。

ln2(ln2)21?x25. 设y?，求y(n). 21?x【解】y??1?211??1?[?] 2x?1x?1x?1y(n)11(?1)nn!(?1)nn!(n)n?1y?(?1)n![?] ??[?](x?1)n?1(x?1)n?1(x?1)n?1(x?1)n?1?x?cost?tsintd2y6．设?，求2.

dxy?sint?tcost?dydxdyd2y1sec3t2?tsint，?tcost，?tant，2?sect??【解】。 dtdtdxtdxtcost?1?cosxx?0?五、（6分）设f(x)??，其中g(x)为有界函数，讨论f(x)在x?0处的连续性和可导性。 x?x2g(x)x?0?【解】连续且可导。 六、（5分×2＝10分）

x1．当x?0时，证明e?1?x?1?cosx.

xxx【解】设f(x)=e?1?x??1?cosx?= e?2?x?cosx， f?(x)?e?1?sinx, f?(0)?1?0,

??f??(x)?ex?cosx?1?cosx?0, f?(x)单增, 当x?0时, f?(x)?f?(0)?0，则f(x) 单增，

当x?0时, f?(x)?f?(0)?0，则f(x)>f(0)=0. 证明完毕。

2. 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，试证存在??(a,b), 使得：

f(b)?f(a)?e??f?(?)(eb?ea).

【解】 上式整理为

f(b)?f(a)f?(?)??，函数f(x),ex在[a,b]上使用柯西公式。 bae?ee1.试证: 在(0,1)内至少存在一点?,使e3. 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导，且f(0)?1,f(1)?f?(?)??e?? .

【解】证法一：记 G(x)?f(x)?e?x ,则G(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 11??0. ee所以G(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件.由罗尔定理,至少存在一点??(0,1),使 G(0)?f(0)?e?0?1?1?0,G(1)?f(1)?e?1?G?(?)?0, 即 f?(?)?e???0 .

第 4 页 共 5 页

证法二：记g(x)?e?x,则g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且g?(x)??e?x?0. 由柯西中值定理,至少存在一点??(0,1),使 1?1f?(?)f(1)?f(0)f?(?)e , 即 ,故有 ????1g(1)?g(0)g?(?)?e?1ef?(?)??e?? .

七、应用题（5分×2＝10分）

x31．设函数y?，试研究（1）函数的单调区间及极值；（2）函数图形的凹凸区间及拐点.

(x?1)26xx2(x?3)??【解】定义域x≠1，y??，驻点，x=0，3 ，，二阶驻点x=0， y?(x?1)4(x?1)3x (－∞,0) 0 0 0 (0,0)拐点 (0,1) + + 1 无定义 无定义 无定义 (1,3) － + 3 0 + 极小值 (3,+∞) + + y? + － y?? y x3/(x-1)21100.90.850.70.600.50.50.40.30.2-100.1-6-4-200y24x00.10.20.30.40.60.70.80.91-5

单增区间(－∞,0)，(3,+∞) ; 单减区间(1,3)

凹区间(0,1) , (1,+∞); 凸区间(-∞,0)， 极小值f(3)=27/4 ; 拐点(0,0).

2. 易拉罐是用铝合金制造的，罐身（侧面与底部）用整块材料拉制而成的，顶盖是另装上的.为了安全，顶盖的厚度是罐身的3倍，问如何确定其底半径和高才使用料最省？（设易拉罐的容积为a）.

222 2

【简答】设易拉罐半径r，高h， πrh=a, 侧面积A(r)=2πrh+πr+3πr=4πr+2a/r,

得到唯一驻点r?36a2a, h?4r?23这时用料最省。 4??第 5 页 共 5 页

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