A.sinx B.?sinx C.cosx D.?cosx 10. 曲线y?x3?3x上，切线平行于x轴的点有（ ）。
A.（-1,-2） B.（1,2） C.（-1,2） D.（0，0）
二、填空题
1. 若x?1，而?x?0.1，则对于y?x2，?y与dy之差是 ；当?x?0.01时，?y与dy之差是 。
2. 若f(x)?3x4?2x3?5，则f'(0)? ，f'(1)? 。 3. 若f(x)?1?x，则f'(1)? ， f'(4)? 。
?x?cos4tdyt?0? ；由参数4. 由参数方程?所确定的函数，在时，此函数的导数4dx?y?sint?x?2t?t2d2y方程?所确定的函数的二阶导数2? 。 3dxy?3t?t?5. 若已知函数f(x)=ax2+sinbx+c，且f'(0)=1，f'(π)=2π-1，则常数a= ，常数b= 。若f(0)=2，则常数c= 。
6. 函数y=xsin2x的微分是 ，函数y=[ln(1-x)]2的微分是 。 7. 填入适当的函数，使等号成立：d（ ）=3xdx，d（ ）=sin2xdx，
d（ ）=e?2xdx。
8.设函数y=y(x)由方程e+xy=e所确定，则y(0)= ，y(0)= 。 9. 若抛物线y?x与y?x3的切线平行，则自变量x取值为 。
'10.设函数f(x)是可导的偶函数且f(0)存在，则f'(0)? 。
2y'''三、计算及证明题
1． 求下列函数的导数。
（1）y?3x?2 ； （2）y?(x?1)； （3）y?x3log3x；
223tanxx1?x2（4）y?； （5）y?； （6）y? 。 2x1?cosx1?x?x2．求下列函数的微分。 （1）y=1+2x； （2）y=xsin2x ； x22x1-x2（3）y=xe； （4）y=arctan。 21+x
3．设y?arctanx，证明它满足方程(1?x2)y''?2xy'?0。 4．用定义求函数f(x)?x3在点x?1的导数。
1??xsin,x?05．证明函数f(x)?? 在x?0处不可导。 x?x?0?0,?x2,x?36．设f(x)??，试确定a,b的值，使f(x)在 x?3处可导。
?ax?b,x?327．已知直线运动方程为s?10t?5t，分别令?t?1，0.1，0.01求从t?4到t?4??t这
一段时间内运动的平均速度以及t?4时的瞬时速度。
8．求曲线y?x在点P(x0,y0)(x0?0)的切线方程与法线方程。 9．试确定曲线y?lnx上哪些点的切线平行于直线y?x?1。 10．求0.97的近似值。 11．求下列函数的高阶导数。
（1）f(x)?xlnx， 求f''(x)； （2）f(x)?e?x，求 f'''(x) ；
(5)（3）f(x)?ln(x?1)，求f(x)； （4）f(x)?x3ex，求f(10)(x)；
2312． 现在已经测得一根圆轴的直径为43厘米，并知在测量中绝对误差不超过0.2厘米。求以此数据计算圆轴的横截面面积时所引起的误差。
13． 设有一个吊桥，其铁链成一抛物线形状，桥两端系于相距100米且高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点（在支柱最下端，即铁链所系之处）下10米处。求铁链与支柱所成的夹角。
【课外练习 参考答案】
第二章 导数与微分
一、单选题
1. B 2. A 3. A 4. B 5. B 6. D 7. B 8. D 9. B 10. C
二、填空题
1. 0.01,00001 2. 0, 18 3.
142，
183 4. 0，
3 5. 1,1,2
4(1?t)6(sin2x+2xcos2x)dx，311?2x2ln(1-x)dx 7. x2?c，?cos2x?c， ?e?c
222x-1
8. y'(0)=-e-1，y''(0)=e-2 9. 0或三、 计算及证明题
1. 解
2 10. 0 3（1）y'?6x （2）y'?6x(x2?1)2
x2xsec2x?tanx'（3）y?3xlog3x? （4）y?
x2ln3'21?cosx?xsinxx2?4x?1'（5）y? （6）y?2
(1?cosx)2(x?x?1)2'1. 解 （1）dy?(-1x?)dx （2）dy?(sin2x?2xcos2x)dx 2xx-2xdx 41?x（3）dy?2x(1?x)e2xdx （4）dy?3. 证明
由已知y?arctanx
12x?1?''则 y?(arctanx)?， y????22?221?x(1?x)?1?x?'''所以 (1?x)y?2xy?0得证。 4. 解 由定义
2'''lim?x?0f(1??x)?f(1)(1??x)3?131?3?x?3?x2??x3?1?lim?lim?lim(3?3?x??x2)?3?x?x?x?x?0?x?0?x?0'
所以 f(1)?3。 5. 证明 由于
f(x)?f(0)1?sin
x?0x则 x?0时，上式的极限不存在 所以函数f(x)在x?0处不可导。 6. 解
因为f(x)在 x?3处左、右两侧的函数表达式不同， 所以要使f(x)在 x?3处可导，
必须使f(x)在 x?3处的左、右导数f'?(3)、f'?(3)都存在且相等。
f(3??x)?f(3)(3??x)2?32?lim?6， 由于f?(3)?lim?x?0?x?0?x?x'而f?(3)?lim所以 a?6
'?x?0f(3??x)?f(3)[a(3??x)?b]?(3a?b)?lim?a ?x?0?x?x此时 f(x)在x?3处可连续。 则 f?(3)?f(3)
而 f?(3)?limf(3??x)?3a?b，f(3)?32?9
?x?0所以 b??9 7. 解
?s[10(t??t)?5(t??t)2]?(10t?5t2)??10?10t?5?t 因为平均速度v??t?t所以当t?4，?t?1时，v?55 当t?4， ?t?0.1时，v?50.5 当t?4，?t?0.01时，v?50.05
t?4时的瞬时速度为
?s[10(t??t)?5(t??t)2]?(10t?5t2)v?lim?lim?lim(10?10t?5?t)?50
?t?0?t?t?0?t?0?t8. 解 由于
?y2?3x0?3x0?x??x2 ?x'222?x?0则 f(x0)?lim(3x0?3x0?x??x)?3x0,
2所以曲线y?x3在点P(x0,y0)的切线方程是y?y0?3x0(x?x0)。
由解析几何知道，若切线斜率为k，则法线斜率为?所以过点P(x0,y0)的法线斜率为?31(k?0)， k11， ??2f'(x0)3x01(x?x0)。(x0?0) 23x0因此，曲线y?x在点P(x0,y0)的法线方程为y?y0??9. 解
因为两直线平行等价于两直线的斜率相等（斜率都存在时）。
而直线y?x?1的斜率为y'?1 曲线y?lnx的导数y?(lnx)?则当x?1时，
''1 x1?1，此时y?lnx?0， x所以曲线y?lnx上的点(1,0)处的切线平行于直线y?x?1。 10. 解
0.97是函数f(x)?x在x?0.97的值。
因此，令x0?1,x?x0??x?0.97 即?x??0.03，于是得到
10.97?1?(x)'x?1?(?0.03)=1?(?0.03)?0.985
211. 解
'（1）因为f(x)?xlnx，所以f(x)?1?lnx，f(x)?''1 x（2）因为f(x)?e?x，所以f'(x)??2xe?x
22f(x)??2e''?x22?2x(?2xe?x2)?(4x?2)e22?x2
2f'''(x)?8xe?x?(4x2?2)(?2x)e?x?4x(3?2x2)e?x
（3）因为f(x)?ln(x?1)，所以f(x)?'1?1=(x?1) x?1f''(x)??(x?1)?2，f'''(x)?2(x?1)?3，f(4)(x)??6(x?1)?4 f(5)(x)?24(x?1)?5
（5）因为f(x)?xe，所以f(x)?xe?3xe?(x?3x)e
3x'3x2x32xf''(x)?(x3?3x2)ex?(3x2?6x)ex?(x3?6x2?6x)ex
f'''(x)?(x3?6x2?6x)ex?(3x2?12x?6)ex?(x3?9x2?18x?6)ex f(4)(x)?(x3?9x2?18x?6)ex?(3x2?18x?18)ex
…….
由以上归纳可得：
f(10)(x)?(x3?30x2?270x?720)ex
12. 解
由题意，圆轴的直径D?43厘米，其绝对误差?D?0.2厘米。按照所测的直径计算圆轴的横截面面积为
11s?f(D)??D2??432?462.25?cm2
44它的绝对误差
?S?dS?f'(D)?D?其相对误差
11?D?D???43?0.2?4.3?cm2
221?SdS2?D?D2?D0.4?????0.93%
1SSD43?D2413. 解
根据题意，以铁链最低点处的切线作为横轴，以铁链的最低点作为坐标原点，建立直角坐标系。
则铁链所处的抛物线方程为y?121x，则 y'?x。 250125记左悬点为A(?50,10)，右悬点为B(50,10)， 则抛物线在右悬点处的切线斜率为y(50)?'2 52 5所以在右悬点处抛物线与坐标轴横轴的夹角为arctan因此，铁链与支柱所成的夹角为
?2?arctan2。 5
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