高数-无穷级数

高等数学同济六版讲义

第十二章 无穷级数

§12? 1 常数项级数的概念和性质

教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件 教学重点：级数的基本性质及收敛的必要条件； 教学难点：级数收敛的必要条件。 教学内容：

一、常数项级数的概念

定义1： 设?un?是一个数列，则称表达式

n?un?1?n?u1?u2??un?为一个数项级数，简称级数，其中第n项un称为级数的通项或一般项，Sn???uk?1k称为级数的部分和．

定:2： 若数项级数

?un?1n的部分和数列?Sn?有极限，则称级数

??un?1?n收敛，极限值limSn?A称为此级数的和，

n??并写成

?un?1?n?A．当limSn不存在时，则称级数?un发散．

n??n?1 例1、讨论等比级数(几何级数) 比?

n?0?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ? 的敛散性? 其中a?0? q叫做级数的公

? 解：如果q?1? 则部分和sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna????

1?q1?q1?q?aa 当q?1时? 因为limSn?? 所以此时级数?aqn收敛? 其和为?

n??1?q1?qn?0? 当q?1时? 因为limSn??? 所以此时级数?aqn发散?

n??n?0 如果q?1，则当q?1时? Sn?na??? 因此级数

n?0?aq?n发散；当q??1时? 级数

n?0?aqn成为

?? a?a?a?a?,此时因为Sn随着n为奇数或偶数而等于a或零? 所以Sn的极限不存在? 从而这时级数?aqnn?0也发散?

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综上所述? 如果q?1? 则级数

n?0??aq?n收敛?

?a其和为? 如果q?1 则级数?aqn发散?

1?qn?0 仅当|q|?1时? 几何级数例2、 证明级数1?2?3?n?0?aqna?0)收敛? 其和为1?q?

?n?是发散的?

an(n?1)? 显然? limsn??? 因此所给级数是发散的? 2n??1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 例3、 判别无穷级数 的收敛性?

1?22?33?4n(n?1)证 此级数的部分和为sn?1?2?3? ? ? ? ?n? 解： 由于un? Sn?1?1?1? 因此

n(n?1)nn?1111111111)?1?1 ??? ? ? ? ? ?(1?)?(?)? ? ? ? ?(?223nn?1n?11?22?33?4n(n?1)1)?1? 所以这级数收敛? 它的和是1? n?1?从而limSn?lim(1?n??n??例4、证明调和级数

1发散。 ?nn?111??23?11?ln(1?1)?ln(1?)?n21?ln(1?)?ln(1?n)

n证明：因为x?0,ln(1?x)?x，从而，Sn?1?从而limSn??。

n?? 二、收敛级数的基本性质

性质1 设

??u,?vnn?1n?1???n都收敛，和分别为A,B，则

??(un?1?n?vn)必收敛，且?(un?vn)?A?B；

n?1????评注：若?un?1n收敛，?vn?1n发散，则?(un?1n?vn)必发散；若?un,?vn都发散，则?(un?vn)可能发散也可n?1n?1n?1能收敛． 性质2 设k为非零常数，则级数

?un?1??n与

?ku

n?1

?

n

有相同的敛散性；

性质3 改变级数的前有限项，不影响级数的敛散性； 性质4 级数收敛的必要条件：如果

?un?1n收敛，则limun?0；

n??性质5 收敛的级数在不改变各项次序前提下任意加括号得到的新级数仍然收敛且和不变． 评注：若某级数添加括号后所成的级数发散，则原级数亦发散． §12? 2 常数项级数的审敛法

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教学目的：掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 教学重点 ：正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和交错级数的莱布尼茨判别法。 教学难点：莱布尼茨判别法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛。 教学内容：

一、正项级数及其审敛法

各项为非负（un?0）的级数1、正项级数收敛的基本定理 定理1 设?Sn?是正项级数

?un?1?n称为正项级数．

?un?1?n的部分和数列，则正项级数

?un?1?n收敛的充要条件是数列?Sn?有界．

2、正项级数的比较判别法

定理2（正项级数比较判别法的非极限形式）设

?u,?vnn?1n?1???n都是正项级数，并设un?vn,(n?N0)，则

① 若

?vn?1?n收敛，则

??un?1?n收敛；② 若

?un?1?n发散，则

?vn?1n发散．

例1 讨论P?级数?1 (p?0)的收敛性?

pn?1n??

1111解：设p?1? 这时p?? 而调和级数?发散? 由比较审敛法知? 当P?1时级数?p发散?

nnn?1nn?1n

设p?1? 此时有

?1?n1dx?n1dx?1[11](n?2, 3,).

??p?n?1ppp?1n?1xp?1(n?1)nnnp?1对于级数

n?2?[(n?1)p?1?np?1]? 其部分和

1]?[1?1]? ? ? ? ?[1?11]?1?? p?1p?1p?1p?1p?1p?1223n(n?1)(n?1)1]?1?

(n?1)p?111 sn?[1?因为limsn?lim[1?n??n???111当p?1时收敛?

所以级数?[收敛? 从而根据比较审敛法可知? 级数?]?pp?1np?1n?2(n?1)n?1n? 综上所述? P?级数??1当p?1时收敛? 当p?1时发散。

pn?1n?例2、 证明级数?n?11是发散的? n(n?1)217

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?1111?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 是发散的?

证 因为? 而级数???n?1n(n?1)(n?1)2n?1n?1n?123根据比较审敛法可知所给级数也是发散的? 定理3 （正项级数比较判别法的极限形式）设

?un,?vn都是正项级数，并设limn?1n?1??un??或为??，则

n??vn① 当?为非零常数时，级数

?u,?vnn?1n?1??n有相同的敛散性；

② 当??0时，若

?vn?1?n收敛，则必有

?un?1?n收敛；

③ 当????时，若

?vn?1?n发散，则必有

?un?1?n发散．

例3、 判别级数?sinn?1?1的收敛性?

nsin1??1n解： 因为 lim?1? 而级数?发散? 根据比较审敛法的极限形式? 级数?sin1发散?

nn??1n?1nn?1n例4、 判别级数?ln(1?n?1?1)的收敛性?

n2ln(1?12)??1n?1? 而级数?2收敛? 根据比较审敛法的极限形式? 级数?ln(1?12)收敛? 解： 因为 lim1n??nn?1nn?12n3、正项级数的比值判别法

?un?1??或为??，则级数?un有 定理4 设?un是正项级数，若limn??un?1n?1n?① 当??1时，收敛； ② 当??1或?时，发散； ③ 当??1时，敛散性不确定．

?un?1评注：⑴ 若?1(n?1,2,)，则级数?un必发散； unn?1⑵ 如果正项级数通项中含有阶乘，一般用比值判别法判定该级数的敛散性； ⑶ 当limun?1，则比值判别法失效． ?1或不存在（但不为?）n??un218

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例5 证明级数1??11?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 是收敛的? 11?21?2?31?2?3 ? ? ? (n?1)解： 因为 limun?11?2?3 ? ? ? (n?1)? lim? lim1?0?1? 根据比值审敛法可知所给级数收敛?

n??unn??1?2?3 ? ? ? nn??n例6 判别级数

1?1?2?1?2?3? ? ? ? ?n !? ? ? ? 的收敛性?

1010210310nun?1(n?1)!10n? limn?1?? limn?1??? 根据比值审敛法可知所给级数发散? 解 因为 limn !n??10n??unn??10例7 判别级数

1的收敛性?

(2n?1)?2nn????解 limun?1(2n?1)?2n? lim?1?

n??unn??(2n?1)?(2n?2)这时??1? 比值审敛法失效? 必须用其它方法来判别级数的收敛性?

?11?2? 而级数?12收敛? 因此由比较审敛法可知所给级数收敛? 因为

(2n?1)?2nnn?1n 4、正项级数的根值判别法

将比值判别法中的

un?1改成nun，其它文字叙述、结论均不改动，即为根值判别法． un例8、 证明级数1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 是收敛的? 2233nnn??解： 因为 limnun? limnn??1? lim1?0? 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛?

nnn??n2?(?1)n例9、判定级数?的收敛性? n2n?1解： 因为limnun?limn???1n2?(?1)n?1? 所以? 根据根值审敛法知所给级数收敛?

2n??2二、交错级数及其审敛法 1.交错级数定义

定义：若级数的各项是正项与负项交错出现，即形如、为交错级数． 例如? ?(?1)n?1?n?11?(?1)n?1?n?1un,(un?0)或?(?1)nun,(un?0)的级数，称

n?1? 是交错级数? 但?(?1)n?11?cosn? 不是交错级数?

nnn?1219

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