南开大学本科数学课程教学大纲 - 图文(4)

§14.1.2线性空间的基本性质 n维线性空间的基，向量的坐标，基变换和坐标变换的关系，相关例子 第十五章 线性变换 初步了解线性变换的定义和基本性质，能够求出可对角化矩阵的过渡矩阵。（讲授参考课时：4课时；习题课参考课时：2课时） 第一节 线性变换的概念和基本性质（讲授参考课时：4课时；习题课参考课时：2课时） §15.1.1线性变换的概念和基本性质 线性变换的定义，线性变换的核，线性变换的象空间，线性变换的基本性质。 §15.1.2有限维线性空间的线性变换的性质 线性变换在一组基下的表示矩阵，线性变换在不同基下表示矩阵的关系，矩阵的相似，相似的基本性质，相关例子。线性变换的象的维数加上核的维数等于空间维数定理。 §15.1.3矩阵的对角化 矩阵的特征根，矩阵的特征向量，特征向量的基本性质，矩阵可对角化的充分条件，过渡矩阵求法实例。 第十六章 欧几里得空间 初步了解欧几里得空间的定义和基本性质，能够用施密特正交化过程将向量组标准正交化。（讲授参考课时：4课时；习题课参考课时：2课时） 第一节 欧几里得空间的概念和基本性质（讲授参考课时：4课时；习题课参考课时：2课时） §16.1.1欧几里得空间的概念和基本性质 内积的定义，内积的基本性质，向量的长度，向量间的夹角，向量的垂直，相关例子。 §16.1.2标准正交基 正交向量组，标准正交向量组，正交基，标准正交基，施密特正交化过程，相关例子。 §16.1.3正交变换

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正交变换的定义，正交变换的基本性质，正交变换在正交基下的表示矩阵，正交变换与正交矩阵的关系。 第十七章 n元实二次型 了解二次型的定义和基本性质，熟练运用配方法和矩阵的合同法化二次型为标准型，掌握判定二次型是否正定的各种方法。（讲授参考课时：8课时；习题课参考课时：4课时） 第一节 实二次型及其标准形（讲授参考课时：4课时；习题课参考课时：2课时） §17.1.1n元实二次型的定义，实二次型的表示矩阵，表示矩阵在不同坐标系下的关系，矩阵的合同。 §17.1.2二次型的标准形 实二次型的标准形的定义，配方法化二次型为标准形实例，惯性定理，对称阵比合同于对角阵定理，合同法化实二次型为标准形实例。 第二节 正定二次型（讲授参考课时：4课时；习题课参考课时：2课时） §17.2.1正定二次型的定义及判定法 正定二次型的定义，负定二次型，正定二次型的等价条件，通过顺序主子式判定正（负）定性法则，相关例子。 §17.2.2选讲内容：用正交阵化二次型为标准形 对称阵的特征根必为实数定理，对称阵正交相似于对角阵定理，用正交阵化对称阵为对角阵实例。 第十八章 微分方程初步 了解什么是微分方程，掌握常见的一阶微分方程的解法。了解线性方程的基本性质，掌握常系数线性方程的解法。（讲授参考课时：18课时；习题课参考课时：9课时） 第一节 微分方程的基本概念（讲授参考课时：2课时；习题课参考课时：1课时） §18.1.1微分方程的基本概念 微分方程，微分方程组，微分方程（组）的解，微分方程（组）的通解，微分方程（组）的初值问题，相关例子。 §18.1.2微分方程的存在性与唯一性

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高阶微分方程与一阶微分方程组的等价性，一阶微分方程组的存在性与唯一性定理（证明为选讲内容）。 第二节 一阶微分方程（讲授参考课时：4课时；习题课参考课时：2课时） §18.2.1可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程，常见的可通过变量替换化为可分离变量的方程。 §18.2.2一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程的概念和通解，常数变易法，一阶线性非齐次微分方程的通解，相关例子。 第三节 高阶微分方程（讲授参考课时：4课时；习题课参考课时：2课时） §18.3.1特殊高阶线性方程 y''?f(x)型，y''?f(x,y')型，y''?f(y,y')型。 §18.3.2高阶线性微分方程 高阶线性微分方程的概念，高阶线性齐次微分方程和非齐次方程的概念，高阶线性齐次方程的解的性质，高阶线性非齐次方程的解的结构。 §18.3.3常系数齐次线性微分方程 常系数线性微分、齐次微分、非齐次微分方程的概念，常系数线性微分方程的特征方程、特征根、特征根的重数，常系数线性齐次微分方程的通解，相关例子。 §18.3.4常系数非齐次线性微分方程 常见常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。*选讲内容：欧拉方程。 18

教 材 名称：1、《高等数学》（理工类）第一册，第二册 2、《高等数学习题课讲义》上、下册 作者：1、第一册 孙永华 王孝喜 陈万义 第二册 张效成 郑弃冰 刘光旭 2、上 册 薛运华 赵志勇 下 册 赵志勇 薛运华 主要参考书 出版日期：1、第一册2006年8月 第二册2006年11月 2、上 册2006年8月 下 册2007年3月 出版社：南开大学出版社 获奖情况： 使用情况： 本教材具有南开自己的特色，在习题的选择和对学生的训练上具有一定的难度。 本大纲的特色（在教学内容、方法、手段方面改革的情况）： 本教学大纲在教学内容的编制上突出了高等数学的系统性和理论的完整性，便于使用现代化的教学手段，有利于提高学生数学素质和能力，为以后的专业课程的学习奠定较好的基础。

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补充说明： 前四章和第十八章在第一学期讲授，也就是四川大学编著的《高等数学》第一册的前五章在第一学期讲授。其中常系数线性微分方程组的部分要结合该书第三册的第十章部分讲到任意阶常系数线性方程组的解法。这样的内容扩充并不影响逻辑的一致性。从第五章到第八章，就是四川大学编著的《高等数学》第二册的第六章到第九章，在第二学期讲授。其余的内容均在第三学期讲授。所有加“*”号的部分为选讲内容。 院（系）主管领导意见： 公共高等数学教学大纲是2002年南开大学“新世纪教学改革”项目“公共高等数学课程建设改革与实践”中之子项目。该大纲是在2002年校内外广泛调研的基础上，对原有教学大纲进行修订、调整形成的。并通过了组织的有关专家组论证。 数学院同意该修订后的教学大纲从2003级开始实施，并要求全体高等数学任课教师遵照执行。 签字：王日生 院（系）学术委员会意见： 签字：

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