立体几何
（06）4. 在直三棱柱A1B1C1?ABC中，?BAC??2，AB?AC?AA1?1. 已知Ｇ
与Ｅ分别为A1B1 和CC1的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）. 若GD?EF，则线段DF的长度的取值范围为 A. ??1??1??1?1, 2 D. ?, 1? B.?, 2? C. ?, 2? ?555???????【答】 （ ）
4.【答】 （ A ）【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，
01,)ＡＡ１为ｚ轴，则F(t1,0,0)（0?t1?1），E(????????11（0?t2?1）。所以EF?(t1,?1,?)，GD?(?,t2,?1)。因为GD?EF，所以
22????1。又DF?(t1,?t2,0)，t1?2t2?1，由此推出 0?t2?211，G(,0,1)，D(0,t2,0)22????21DF?t12?t22?5t22?4t2?1?5(t2?)2?，从而有
55（06）10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为
1?????DF?1。 51cm的实心铁球，四个2球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm3.
10. 【解】设四个实心铁球的球心为O1,O2,O3,O4，其中O1,O2为下层两球的球心，
A,B,C,D分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为
32的正方形。所221224?1?以注水高为1?。故应注水?(1?)?。 )?4????＝(?23223?2?（07）1. 如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C的平面角
的余弦值为（ B ） A.
1 7B. ?1 7C.
1 2D. ?1 2DP解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角A?PB?C的平面角。不妨设AB=2，则PA?AC?22，斜高为
MCB7，故
7A。在△AMC2AM2?CM2?AC21??。 中，由余弦定理得cos?AMC?2?AM?CM72?7?AM?22，由此得CM?AM?（07）9. 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为
23为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得353π到的曲线的长等于 。
6球心，
解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、
面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，
πππ23，AA1=1，则?A1AE?。同理?BAF?，所以?EAF?，故
666323π3弧EF的长为??π，而这样的弧共有三条。在面BB1C1C上，交线为弧FG
3693且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，
3π3π3?FBG?，所以弧FG的长为??π。这样的弧也有三条。
23263353π于是，所得的曲线长为3?。 π?3?π?966因为AE?（08）4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三
个
正
方
体
的
体
积
之
和
为
（ A ）
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为a,b,c，则有6?a2?b2?c??2，56422222不妨设1?a?b?c?10，从而3c?a?b?c?94，c?31．故a2?b2?c2?94，
6?c?10．c只能取9，8，7，6．
2若c?9，则a2?b?949?213?b?3，，易知a?2，得一组解(a,b,c)?(2,3,9)．
20，b?4，若c?8，则a2?b2?94?64?30，b?5．但2b?3从而b?4或5．若
b?5，则a2?5无解，若b?4，则a2?14无解．此时无解．
若c?7，则a2?b2?94?49?45，有唯一解a?3，b?6．
若c?6，则a2?b2?94?36?58，此时2b?a?b?58，b?29．故b?6，但b?c?6，故b?6，此时a?58?36?22无解．
22222?a?2,?a?3,??综上，共有两组解?b?3,或?b?6,
?c?7.?c?9??体积为V1?23?33?93?764cm3或V2?33?63?73?586cm3．
（08）12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
723．
[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面A1B1C1//平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体P?A1B1C1的中心，
PO?面A1B1C1，垂足D为A1B1C1的中心．
1因VP?ABC?S?ABC?PD
1113111 ?4?VO?ABC
1111?4??S?A1B1C1?OD，
3故
PD?4OD?4r，从而
PO?PD?OD?4r?r?3r．
记此时小球与面PAB的切点为P1，连接OP，1则
22PP(3r)2?r2?22r． 1?PO?OP1?答12图1 PAB考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为PEF，如答12图2．记正四面体 1的棱长为a，过P1作PM?PA于M． 1 因?MPP1??6，有PM?PP1?cosMPP1?22r?3?6r，故小三角形的边长2PE?PA?2PM?a?26r． 1小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
S?PAB?S?PEF?1322(a?(a?26r)2)?32ar?63r． 4又r?1，a?46，所以
S?PAB?S?P1EF?243?63?183．
答12图2
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723． 1. （10）正三棱柱ABC?A1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角
B?A1P?B1??,则sin?? 10 . 4OC所在直线为y轴，解一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，
建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为
2，则
B(1,0,0),B1(1,0,2),A1(?1,0,2),P(0,3,1)，从而，
BA,3,1),B1A1?(?2,0,0),B1P?(?1,3,?1). 1?(?2,0,2),BP?(?1设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量是m?(x1,y1,z1)、
n?(x2,y2,z2)，则
??m?BA1??2x1?2z1?0, ???m?BP??x1?3y1?z1?0,??n?B1A1??2x2?0, ???n?B1P??x2?3y2?z2?0,由此可设 m?(1,0,1),n?(0,1,3)，
BxzA1C1B1PAOCy??????所以m?n?m?ncos?，
即3?2?2cos??cos??10. 46. 4所以 sin??A1C1EB1OAP解二：如图，PC?PC1,PA1?PB .
设A1B与AB1交于点O, 则
OA1?OB,OA?OB1,A1B?AB1 . 因为 PA?PB1,所以 PO?AB1,
从而AB1?平面PA1B .
过O在平面PA1B上作OE?A1P,垂足为E. 连结B1E,则?B1EO为二面角B?A1P?B1的平面角. 设AA1?2,则易求得
CBPB?PA2,PO?3. 1?5,A1O?B1O?在直角?PA1O中，A1O?PO?A1P?OE, 即 2?3?5?OE,?OE?65.
又 B1O?2,?B1E?B1O2?OE2?2?B1O210. ??B1E4545645. ?55sin??sin?B1EO?
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