材料力学 第五版 附录I 截面的几何性质+习题答案

附录I 截面的几何性质 习题解

[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。

（a）

3解：Sx?A?yc?(40?20)?(20?10)?24000(mm)

（b）

解：Sx?A?yc?(20?65)?（c）

3解：Sx?A?yc?(100?20)?(150?10)?280000(mm)

65?42250(mm3) 2（d）

3解：Sx?A?yc?(100?40)?(150?20)?520000(mm)

[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dA?(xd?)?dx；微分面积的纵坐标：y?xsin?；微分面积对x轴的静矩为： dSx?dA?y?(xd??dx)?y?xd??dx?xsin??x2sin??dxd?

1

半圆对x轴的静矩为：

Sx??r0x3rr32r3?xdx?sin??d??[]0?[?cos?]0??[?(cos??cos0)]?

03332?2r314r???r2?yc yc?因为Sx?A?yc，所以 323?[习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 上 左 右 Li 400 150 150 Bi 20 20 20 Ai 8000 3000 3000 14000 Yci 160 75 75 AiYci 1280000 225000 225000 1730000 Yc 123.6 离顶边 46.4 (b) 解： Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 习题I-3(b): 求L形截面的形心位置 矩形 下 左 Li 160 90 Bi 10 10 Ai 1600 900 2500 Yci 5 55 AiYci 8000 49500 57500 Yc 23 Xci 80 5 AiXci 128000 4500 132500 Xc 53 (c)

Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai 2

解： 习题I-3(c): 求槽形与L形组合截面的形心位置 型钢号 槽钢20 等边角钢80*10 Ai(cm2) 32.837 15.126 47.963 Yci(cm) 10 2.35 AiYci(cm3) 328.37 35.546 363.92 Yc(cm) 7.6 Xci(cm) -1.95 2.35 AiXci(cm3) -64.03 35.546 -28.49 Xc(cm) -0.6

Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai [习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dA?(xd?)?dx；微分面积的纵坐标：y?xsin?；微分面积对x轴的惯性矩为： dIx?y2dA?y2(xd??dx)?x2sin2??xd??dx?x3sin2??dxd?

四分之一圆对x轴的惯性矩为： Ix??r0xdx?3?/20x4r?/21?cos2?sin?d??[]0??d?

0422r41?/21?/2??[?d???cos2?d(2?)] 42020r4?1/2{?[sin2?]? ?0} 822 ???r416

由圆的对称性可知，四分之一圆对y轴的惯性矩为：

3

Iy?Ix???r416

微分面积对x轴、y轴的惯性积为：

dIxy?xydA

Ixy??xdx?0rr2?x20ydx??r0121r2x2x4r1r4r4r42x(r?x)dx?[?]0?(?)? 22242248[习题I-5] 图示直径为d?200mm的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为

??20mm的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩。

解：圆的方程为：

x2?y2?r2

如图，作两条平行x轴的、相距为dy线段，截圆构成微分面积，微分面积为：

dA?2r2?y2dy

切去2?之后，剩下部分对x轴的惯性矩为：

rsin?Ix???rsin?2y2r2?y2dy

rsin??yr4y?2222?2?(2y?r)r?y?arcsin?

8r??rsin??8r41?(??sin4?) 24r4?(4??sin4?) 8x1?(100?20)2?1002

x1?3600

22 4

x1?60(mm)

100?204? 60340 ??arctan?53.13?0.927(rad)

3 tan??1004Ix?(4?0.927?sin212.520)?3.963?107(mm4)

8[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。

解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z，竖坐标轴为y）。

Iz??ydA??A202?a2dz?2a22?z?a2z?ydy??2a222a20dz?2a2?z?2a2z?2a2y2dy

?2?[?02?a2dz?z?z?2a20ydy??2a220dz??z?0y2dy]

20??[?2y33?2a??02a2dz??0?y?3?z?02a2dz]

2a20232232??[?2(z?a)d(z?a)??2(?z?a)d(?z?a)]

?a03222222a2?24?(z?a)?2?2????3?4??????2?a4a4???=? ?3?1616??a4? 12

02a2?24?(?z?a)?2?2???3?4?????0

5

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