1 ,0 x 30,10 y 50
解 (X,Y)的联合分布 f(x,y) 1200
0 , 其它 P(X Y 10)
11200
x y 10
f(x,y)dxdy(10 40)30
2
13
]
=[1200
1002
6．已知一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成．在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.2 ，为了使整个系统起作用，至少需有85个部件正常工作．求整个系统工作正常的概率．
（附： (1.25) = 0.8944 ， (0.3125) = 0.6217）
近似
解 设X为正常工作的部件数,则X~B(100,0.8)~N(80,16) P(X 85) 1 F(85) 1 (
85 80
4
) 1 0.8944 0.1056
7.设（X,Y）在0 x 1,0 y 1上服从均匀分布，求Z=X+Y的分布。
解 z 0,FZ(z) 0, 0<z 1,FZ(z) 1 z 2,FZ(z) 1
(2 z)
2
z
2
2
,
2
z ,0 z 1
fZ(z) FZ (z) 2 z,1 z 2
0 , 其它
,z 2,FZ(z) 1
四、证明（5分）
1．设0 ＜ P(B) ＜ 1 ，P(A∣B) ＋ P(A
证 由 1=P(A|B)+P(A|B)
P(AB)P(B)
|B)= 1 ，试证明A与B独立．
+
P(A B)1 P(B)
=
P(AB) P(B)P(AB) P(B)[1 P(A B)]
P(B)[1
P(B)]
=
P(AB) P) P(B) P(A)P(B) [P(B)] P)
P(B)[1 P(B)]
2
=1
P(AB) P(A)P(B)P(B)[1 P(B)]
所以
P(AB) P(B)P(A)P(B)[1 P(B)]
0 即 P(AB) P(A)P(B)；A,B独立.
练习二
一、填空题(共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在题中的横线上)
1．设A, B是任意两个随机事件，则P{(A B)(A B)(A B)(A B)}
解 (A B)(A B)=B,(A B)(A B) B,所以 原式=P( ) 0
2．随机变量X服从区间 [1，4]上的均匀分布，则P( 0<X<3) = .
解 P(0 X 3)
3 14 1
23
3. 设随机变量X服从参数为 的泊松（Poisson）分布，且已知E [(X 1) (X 2)] = 1，则 = 。
解 由 E[(X 1)(X 2)] EX 得
2
2
3EX 2
2
3 2 1
2 1 0 1
4．对于随机变量X，仅知其E（X）= 3，D（X）= 1/25，则可知
P{X 3 2}
1/252
2
解 P(X 3 2) 1 0.98
5、设随机变量X服从参数为(2, p)的二项分布，随机变量Y服从参数为(3, p)的二项分布，若
P{X 1}
59
，则P{Y 1} =
2
解 由 P(X 1) 1 P(X 0) 1 (1 p) 5/9,得1-p 2/3 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 p) 19/27
1
3
6. 设随机变量X~ (x), (x)
(1 x)
2
，则Y=2X的概率密度是
解 fY(y) fX(y/2)(y/2) y
2
(4 y)
2
二、单选题 ( 共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出了四个备选答案，其中有
一个符合题目要求，请选出正确答案并将其序号填入题干的括号内)
1. 下列命题中，真命题为 （ ）
A. 若 P（A）=0 ，则 A为不可能事件 B.若A,B互不相容，则P（A
B）＝1
C.若 P(A)=1，则A为必然事件 D.若A,B互不相容，则 P(A)=1-P(B)
解 A,B互斥,则AB ,AB A B,选B
2．甲，乙同时向某目标各射击一次，命中率为1/3和1/2。已知目标被击中，则它由甲命中的概率（ ）
A. 1/3 B. 2/5 C. 1/2 D. 2/3
解 设A,B分别为甲,乙命中,则P(A|A B)
P[A(A B)]P(A B)
1/3
1/3 1/2 1/6
12,选C
3．事件A,B若满足P（A）＋P（B）>1，则A与B一定（ ）。 A. 不相互独立 B. 相互独立 C. 互不相容 D. 不互斥
解 若A,B互斥,P(A B) P(A) P(B) 1,选D
4．下列函数中可以为分布密度函数的是 （ ）
1
A. f(x)＝ 1 x2
0
x 0其它
B. F(x)＝
sinx 0
x 〔0, 〕其它
e－（x－a)
C. f(x)＝
0
0
x a其它
x3
D. f(x)＝
0
1 1
3
－1 x 1其它
dx1+x
2
2
1, sinxdx 2,
a
e
(x a)
dx 1,
xdx 0,选C
3
2
5. 设离散型随机变量的分布列为下表，其分布函数为F(x),则F
解 (- , 1),F(x) 0;[ 1,0),F(x) 0.1;[0,1),F(x) 0.3;[1,2],F(x) 0.6;x 2,F(x) 1.选C
6. ～N（0,1）， ＝2 －1，则 ～（ ）
A. N(0,1) B. N(－1,4) C. N（－1,3） D. N（－1,1）
解 X~N( , )则aX B~N(a b,(a )),选B
2
2
7. 设随机变量X服从正态分布N( , （ ）
A. 单调增大
B. 单调减少
2
),
则随 的增大，概率P{X }应该
C. 保持不变
D. 增减不变
解 P(X )=F( ) F( ) (1) ( 1),选C
8. 设X1,
f1(x)
X
2
是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则（ ）。
必为某一随机变量的概率密度，
和
f2(x)
A. B.
f1(x) f2(x)F1(x)F2(x)
必为某一随机变量的分布函数， 必为某一随机变量的分布函数，
C.F1(x) D.
F2(x)
f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度。
解 选B
9. 设随机变量X的密度函数为 (x)，且 ( x) = (x)，F (x)是X的分布函数，则对任意实数
a，有（ ）。
A. F( a) 1 (x)dx， B.F( a) 0 (x)dx，
02C. F ( a) = F (a)， D.F ( a) = 2F (a) 1。
解 ( x) (x),则
a0
a
aa
(x)dx (x)dx,F(0) 0.5,选B
10. 设随机变量X与Y均服从正态分布，X ~ N ( , 42) , Y ~ N ( , 52)，记p1 = P{X 4} , p2
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