大学数学实验基础知识整理(清华大学)(5)

2.1 高斯消元法 高斯消元法

列主元消去法

数学实验基础知识整理

2.2 LU分解

LU分解和Cholesky分解

求解三对角线性方程组的追赶法

2.3 解的误差分析P95

病态是解的固有性质，与解法无关。

向量范数和矩阵范数P96 相容性条件

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3.求解线性代数方程组的迭代法

3.1 雅可比迭代法

3.2 高斯-赛德尔迭代法

高斯赛德尔收敛快于雅可比 3.3 迭代法的收敛性和收敛速度

迭代公式收敛——B的谱半径ρ（B）<1。 谱半径不超过任一种范数ρ（B）<||B||

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3.4 超松弛迭代

4.超定线性代数方程组的最小二乘解 4.1 超定线性方程组的概念

方程个数超过了未知数个数的方程组称为超定线性方程组。

一般来说，超定线性方程组在普通意义下是无解的，只能在新设定的准则下定义它的解。

求解超定线性方程组的一个重要实际应用背景是数据拟合,我们下面的讨论也将就这个问题展开.

4.2 最小二乘准则

4.3 最小二乘解

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4.4 基函数的选取

MATLAB实现

x=A\b;%求解方程Ax=b。若A为可逆方阵，输出原方程组的解；若A列多于行，输出最小二乘解

n=norm(x,1);n=norm(x);n=norm(x,inf);%输出x的1、2、无穷范数

c=cond(x,1);c=cond(x);c=cond(x,inf);%输出x的1、2、无穷条件数 r=rank(x);%输出向量x的秩

e=eig(x);%输出矩阵x的全部特征值

v=diag(x);v=diag(diag(x)); %提取对角矩阵

v=triu(x);v=tril(x);%输出矩阵x的上三角阵、下三角阵

v=triu(x,1);v=tril(x,-1);%输出矩阵x的上三角阵、下三角阵，对角元素为0 h=hilb(n);p=pascal(n);%n阶希尔伯特矩阵、Pascal矩阵

S=sparse(i,j,s,m,n)%稀疏矩阵，在第i行，第j列输入s，矩阵共m行，n列 SS=full(S);%输出S的满矩阵

tic;x=a\b;t1=toc;%计算求解时间

a=eye(3)%矩阵I a=inv(b)%矩阵求逆

a=polyfit(x,y,m);%完全多项式拟合，x，y要拟合的数据，m多项式的次数,a为拟合系数（降幂排列） y=polyval(a,x);%计算上述多项式在x处的值

关键是列出Ax=b的式子，其中x为包含要求量的矩阵，即列出方程后把包含要求量的项挪到一边，把其系数整理成A，剩下的部分就是b。

通常需要用稀疏矩阵整理A：A=sparse(i,j,s,m,n)%稀疏矩阵，在第i行，第j列输入s，矩阵共m行，n列 x=A\b即可求解

实验考点是雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的相关理论和迭代范围等

1 非线性方程(组)的定义及特点

n(>2)次代数方程(a0xn+a1xn-1+ +an=0)和超越方程(包含超越函数(如sinx, lnx)的方程) 通称为非线性方程。方程中的未知数也称为变量或变元，只含一个未知数的方程（即一元方程或单变量方程）可以记作

，该方程

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的解也称为方程的根（或函数的零点）。n次代数方程有且只有n个根(包括复根、重根)； 5次以上的代数

，其中

是一个向量，

称为非

方程无求根公式；超越方程有无根，有几个根通常难以判断。这里仅讨论方程的实根。 包含n个未知数的m个方程称为方程组，可以记作

是一个向量值函数。当

中至少有一个非线性函数时，

线性方程组。多数情况下，方程组中包含的方程的个数等于未知数的个数（即m=n) 。 求解非线性方程（组）的一般方法是迭代法，会出现分岔——混沌现象。

2 非线性方程的基本解法

2.1 图形法和二分法 解方程

的第一步通常是确定根的近似位置或大致范围。有两种方法：图形法和二分法。图形法是利用

后，可以用简单的二分法将区间缩小，具体步骤如下：即是根。否则，如

, 令 。 再取

; 如

的中点

MATLAB的函数图形功能作f(x)的图形,观察f(x)与x轴的交点，确定根的个数和范围。二分法是基于连续函数的零点存在定理，通过试探，确定函数值异号的区间取

的中点

, 令

, 若

。 在

, 则

内至少有一个根，且

, 如此进行下去，包含根的区间的长度每次缩小一半 (n=1, 2, )，n足够大时即可达

到满意的精度。图形法和二分法都可提供迭代法的初始迭代点。 2.2 迭代法

迭代法的基本思想是将原方程即为原方程f(x)=0的根。

迭代法的关键在于如何构造迭代函数率。（P118）

关于迭代法的收敛性，理论上有如下的所谓局部收敛性定理： 设则对于该邻域内的任意初值

，序列{xn}收敛于

。

在

的一个邻域内连续、可微，且

，使迭代序列

以较快速度收敛。迭代法是否收敛取决于曲线

的斜

改写成等价形式

收敛到

, 选择适当的初值, 则

满足

, 按照迭代公式，称为迭代函数

的不动点，

计算，若迭代序列

对迭代序列，记，若

为

，

为一个正数，其中||·||表示某种范数（对实数

可以认为就是绝对值），则称序列c=0，则称

阶收敛。特别地，1阶收敛称线性收敛，二阶收敛称平方收敛；若p=1,

为超线性收敛。P越大收敛越快。

利用在的泰勒展开：

可得

，从而可知

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若收敛。 2.3 牛顿法

，则为1阶收敛（线性收敛）；若，则为阶

将在作泰勒展开，去掉2阶及2阶以上项（即线性化）后得。设，

令上面的其几何意义是过

，用代替右端的，就得到迭代公式点的曲线

的切线与轴的交点即为

。对应的迭代函数为

(点击看图1)，称为牛顿切线法

。由

，

知，若

则

是

是

的单根，即，，

，这时牛顿切线法2阶收敛。当

的重根时，，牛顿切线法只是1阶收敛，并且重数越高收敛越慢。

用差商代替，迭代公式变为

，其几何意义是用割线代替了原

来的切线(点击看图2)，称为割线法（或称弦截法）其收敛速度比切线法稍慢（对于单根其收敛阶数是1.618），

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