大学数学实验基础知识整理(清华大学)(4)

1.2 一阶线性常系数差分方程

一阶线性常系数差分方程的一般形式

差分方程的平衡点

差分方程的解

平衡点稳定的条件

1.3高阶线性常系数差分方程

高阶线性常系数差分方程的一般形式

特征方程

特征根

平衡点

差分方程的解

平衡点稳定的条件 所有特征值的模均小于1 (用roots(c)---c:多项式的系数（降幂）P125)

数学实验基础知识整理

1.4 线性常系数差分方程组

当我们研究的对象是若干变量构成的一个向量的离散动态过程时，就需要引入差分方程组来描述，详见前面对一阶或高阶线性常系数差分方程的描述。

平衡点——X=Ax+b

稳定条件：A的所有特征根小于1（eig）

1.5 非线性差分方程

2 数值微分

数值微分是用离散方法近似地计算函数y=f(x)在某点x=a的导数值。常用公式有： 前差公式

后差公式

中点公式

三点公式

数学实验基础知识整理

1 插值与拟合

1.1 插值与拟合的基本概念

插值与插值函数：已知由

互异插值节点

值条件：

(可能未知或非常复杂

)产生的一批离散数据

，在插值区间内寻找一个相对简单的函数

，且 个

，使其满足下列插

再利用已求得的

数，

计算任一非插值节点

的近似值

，这就是插值。其中

称为插值函

称为被插函数。

，

互不相同，寻求一个拟合函数

，

最小二乘拟合：

已知一批离散的数据

使

1.2

三种插值方法

与

的误差平方和在最小二乘意义下最小。在最小二乘意义下确定的 称为最小二乘拟合函数。

1）

Lagrange插值法

a．待定系数法： 假设插值多项式 插值条件

的插值函数。关键在于确定待定系数

个满足条件：

的

，利用待定系数法即可求得满足

。 次插值基函数

，再将其

b

．利用基函数的构造方法 首先构造 线性组合即可得如下的Lagrange插值多项式：

数学实验基础知识整理

其中

c．Lagrange插值余项

注：上述两种构造方法所得的Lagrange插值多项式是一样的，即满足插值条件

Lagrange插值多项式是唯一的。Lagrange插值会发生Runge现象。

2）分段线性插值

作分段线性插值的目的在于克服Lagrange插值方法可能发生的不收敛性缺点。所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值节点作线性插值，即可得如下分段线性插值函数：

的

其中

特点：插值函数序列

具有一致收敛性，克服了高次Lagrange插值方法的缺点，故可通过增加插值节

点的方法提高其插值精度。但存在于节点处不光滑、插值精度低的缺点。

3）三次样条插值

三次样条插值的目的在于克服Lagrange插值的不收敛性和提高分段线性插值函数在节点处的光滑性。所谓三次样条插值方法就是在满足下列条件：

a． b．

在每个子区间

上是三次多项式的三次样条函数中寻找满足如下插值条件：

一及形如

等边界条件的插值函数

的方法。

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特点：三次样条插值函数序列

4）插值方法的Matlab实现

一致收敛于被插函数，因此可通过增加节点的方法提高插值的精度。

a．对于Lagrange插值必须自编程序 b．低次插值的Matlab命令 分段线性插值：

y=interp1(x0, y0, x)，其中输入离散数据x0、y0、x，输出对应x的插值y。 三次样条插值：

y=interp1(x0, y0, 'spline') 或

y=spline(x0, y0, x)

其中，x0、y0、x和y的意义同上。

2 数值积分

2.1 数值积分的基本思路

2.2 三种常用数值积分方法

1) 梯形公式

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2) 辛普森公式

3) 高斯求积公式

Gauss-Lobatto公式 P60

4）数值积分的Matlab实现

trapz(x)

数学实验基础知识整理

用梯形公式计算(h=1)，输入数组x为各区间端点的函数值。 trapz(x,y)

用梯形公式计算，输入x,y为同长度的数组，输出y对x的积分(步长可不相等)。 quad('fun',a,b,tol)

用自适应辛普森公式计算，输入被积函数fun可以自定义如exp(-x.^2)，也可以是fun.m命名的函数M文件，积分区间(a,b)，绝对误差tol，输出积分值。

quadl('fun',a,b,tol)

用自适应的Gauss-Lobatto公式计算，其余同上。

常微分方程的初值问题

2.初值问题的数值解法

2.1 欧拉方法

欧拉方法的基本思想

向前欧拉公式

向后欧拉公式

改进的欧拉公式

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精度归纳：

向前1阶 向后1阶 梯形2阶 改进欧拉2阶 O（h^p+1）——p阶精度

2.2 龙格-库塔方法

龙格-库塔方法的基本思想

龙格-库塔方法一般形式

经典的龙格-库塔方法

常微分方程组和高阶方程初值问题的数值方法 P73\74

高阶方程，需要先降阶化为一阶常微分方程组

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2.3 龙格-库塔方法的MATLAB实现

2.4 算法的收敛性、稳定性分析

收敛性分析

P81

稳定性分析

P81

向后欧拉公式无条件稳定

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刚性现象与刚性方程

精度——慢稳态解的特征根决定 步长——快稳态解

快慢稳态解衰减速度（两个特征根）相差悬殊——刚性现象——刚性方程 求解ode23s,ode15s

线性代数方程组的一般形式和解法

2.求解线性代数方程组的直接法

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