线性代数-（周勇）文档(4)

D2n?(andn?bncn)D2(n?1)?(andn?bncn)(an?1dn?1?bn?1cn?1)D2(n?2)??(andn?bncn)(an?1dn?1?bn?1cn?1)?(andn?bncn)(an?1dn?1?bn?1cn?1)n(a2d2?b2c2)(a1d1?b1c1)a1c1b1d1

?i?1(aidi?bici),其中记号“∏”表示所有同类型因子的连乘积． 例3 证明范德蒙(Vandermonde)行列式

1x1Dn?x21xn?111x2x22xn?121xnx2n?xn?1nn?ij?1?(xi?xj)（４．１）

证 用数学归纳法证明．当n=2时，

1D2?x11??(x?xj) x2n?ij?1i(4.1)式成立．假设(4.1)式对n-1阶范德蒙行列式成立，要证(4.1)式对n阶范德蒙行列式成立．为此，将Dn降阶，从第n行开始，后一行减前一行的 x1倍得

10Dn?01x2?x1x2(x2?x1)1x3?x1x3(x3?x1)1xn?x1xn(xn?x1) xn?2n(xn?x1)0xn?22(x2?x1)xn?23(x3?x1)

按第1列展开，并提取每一列的公因子，有

Dn?(x2?x1)(x3?x1)(xn?x1)1x2x2n?21x3x3n?21xnxnn?2

上式右端行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳假设它等于∏n≥i＞j≥2（xi－xj），故

Dn?(x2?x1)(x3?x1)?(xn?x1)n?ij?2?(xi?xj)

n?ij?1?(xi?xj).显然，范德蒙行列式不为零的充要条件是x１，x２，…，xn互不相等． 由定理4.1还可以得到下述推论．

推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

ai１Aj１+ai２Aj２＋…＋ainAjn=0,i≠j， 或

a1iA1j+a2iA2j＋…＋aniAnj=0,i≠j． 证 作行列式(i≠j)

a11ai1ai1an1a12ai2ai2an2a1nain

ainann

则其第j行与行列式D的第j行不相同外，其余各行均与行列式D的对应行相同．但因该行列式第i行与第j行相同，故行列式为零．将其按第j行展开，便得

ai１Aj１+ai２Aj２＋…＋ainAjn=0.

同理可证a1iA1j+a2iA2j＋…＋aniAnj=0． 将定理4.1与推论综合起来得 ∑nk=1aikAjk＝Ｄ，i＝j, ０，i≠j, 或

∑nk=1akiAkj＝Ｄ，i＝j, ０，i≠j.

下面介绍更一般的拉普拉斯(Laplace)展开定理． 先推广余子式的概念．

定义4.1在一个n阶行列式D中，任意取定k行k列(k≤n)，位于这些行与列的交点处的k２个元素，按原来的顺序构成的k阶行列式M，称为行列式D的一个k阶子式；而在D中划去这k行k列后余下的元素，按原来的顺序构成的n-k阶行列式N，称为k阶子式M的余子式．若k阶子式M在D中所在的行、列指标分别为i１，i２，…，ik及j１，j２，…，jk，则

（－１）(i１＋i２＋…＋ik）＋（j１＋j２＋…＋jk）Ｎ 称为k阶子式M的代数余子式．如在五阶行列式

a11a12a21a22a51a52a13a23a53a14a24a54a15a25a55

中选定第2、第5行，第1、第4列，则二阶子式

M?a21a24a51a54

的余子式

a12N?a32a42而代数余子式为(?1)a13a33a43a15a35 a452?5?1?4N?N.

*定理4.2(拉普拉斯定理)设在行列式D中任意选定k(1≤k≤n-1)行(或列)，则行列式D等于由这k行(列)元素组成的一切k阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和．(不证)

例4 用拉普拉斯定理计算行列式

1D?10201141331.

0?1212解 若取第1、第2行，则由这两行组成的一切二阶子式共有 C4?6个

M1?M4?120?1,M2?1102,M3?1401,

212414,M5?,M6?.?12?112103110113其对应的代数余子式为

A1?A4?1331,A2??,A3?,

131110,A5??,A6?.010301则由拉普拉斯定理得Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋…＋Ｍ６Ａ６

＝（－１）×（－８）－２×（－３）＋１×（－１）＋５×１－６×３＋（－７）×１ ＝－７．

注 当取定一行(列)即k=1时，就是按一行(列)展开．从以上计算看到，采用拉普拉斯定理计算行列式一般并不简便，其主要是在理论上的应用．

第五节克莱姆法则

含有n个未知数x１，x２，…，xn的n个线性方程的方程组 a１１x１＋a１２x２＋…＋a１nxn=b１， a2１x１＋a2２x２＋…＋a2nxn=b2， ……………………

an1x１＋an２x２＋…＋annxn=bn(5．１）有与二、三元线性方程组类似的结论，它的解可以用n阶行列式表示，即为下述的克莱姆(Cramer)法则.

定理5.1(克莱姆法则)若方程组(5.1)的系数行列式

D?a11a21an1a21a22an2a1na2nann?0,

则方程组有唯一解，且可表示为

x1?D1D,x2?2,DD,xn?Dn, (5.2) D其中Ｄj（j＝１，２，…，n）是将D中的第j列元素换成常数项所得的行列式，即

a11Dj?a21an1a11Dxj?a21a12a22a1,j?1b1a1,j?1a2,j?1an,j?1a1jxja2jxjanjxja1na2nann1)的解，按行列式的性质，有

a2,j?1b2an,j?1bn.

证 设x１，x２，…，xn是方程组(5

a1na2nann.

an1an2再把行列式的第1列，…，第j-1列，第j+1列，…，第n列分别乘以x１，…，xj－１，xj＋１，…，xn加到第j列上去，行列式的值不变，即

a11aa21a12?j?1nnajx1jajx2jana1 Dxj?22?j?1n2.

an1an2?j?1nanjxjanna11a21a12a22b1b2bna1na2nann?Dj.

an1an2因D≠0，故xj?DjD（j＝１，２，…，n）为方程组的唯一解．

例1 求解线性方程组

?x1?x2?x3?2x4?1,?x?x?2x?x?1,34?12?x1?x2?x4?2,??x3?x4?1,?x1?

解

1?1D?1111101?201211?1?1?100022112

?3?1?1?10?32?3?110?31?201122?351211?1211?2?1?1?2?15?00?35??10

?1511101101121??3, 211?1??9,

1?1D1?121111故x1?110110??8,D2?11?212111?11D3?1?1??5,D4?111110?211?1?84?9913?,x2??,x3?,x4?. ?105?1010210由此可见用克莱姆法则解方程组并不方便，因它需要计算很多行列式，故只适用于解未知量较少和

某些特殊的方程组，但把方程组的解用一般公式表示出来，这在理论上是重要的．

使用克莱姆法则必须注意：①未知量的个数与方程的个数要相等；②系数行列式不为零．对于不符合这两个条件的方程组，将在以后的一般线性方程组中讨论．

常数项全为零的线性方程组

?a11x1?a12x2??ax?ax??211222????an1x1?an2x2??a1nxn?0?a2nxn?0?annxn?0 (5．3）

称为齐次线性方程组．而方程组(5.1)称为非齐次线性方程组． 显然x１＝x２＝…＝xn＝０是方程组(53)的解，称为零解，若方程组(53)除了零解外，还有x１，x２，…，xn不全为零的解，称为非零解．由克莱姆法则，有以下定理.

定理52如果齐次线性方程组(53)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(53)只有零解．

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