线性代数-（周勇）文档(10)

k阶子式． 例如

?11?12???A??3021?,

??1?234???12从A中选取第1、第2行及第2、第4列，它们交叉处元素构成A的一个二阶子式?1

01再如取A的第1、第2、第3行及第1、第3、第4列对应的A的三阶子式为

13?1?12231?40. 4显然A的每一元素aij都是A的一阶子式，当A为n阶方阵时，其n阶子式为｜A｜． 定义5.2 矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为rank(A),简记为r(A)． 零矩阵的秩为零：r(O)＝０． 由定义，设A为m×n矩阵，则 (1) r(A)＝r(A）, （２） r(A)≤min｛m,n｝. 例如

T?1?21?1?2??A??210?,易看出A有一个二阶子式 只?5?0,而A的所有三阶子式，

21??24?2???有｜A｜＝０，所以r(A)＝２．

按定义，非奇异方阵的秩等于它的阶数，故非奇异方阵称为满秩矩阵，而奇异方阵称为降秩矩阵．

定理5.1 若矩阵A中至少有一个k阶子式不为零，而所有k+1阶子式全为零，则r(A)=k． 证 由A的所有k+1阶子式全为零，有A的任一个k+2阶子式按行(列)展开知其必为零，进而全部高于k+1阶的子式皆为零，所以由定义有r(A)＝k.

矩阵秩是一个重要概念，它刻画了矩阵的本质属性．按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故此法只适用行、列较少的矩阵，对于行、列较多的矩阵计算量较大，一般采用下面介绍的方法．

二、 矩阵的初等变换

定义5.3 对矩阵施行下列3种变换称为矩阵的初等行变换： (i) 互换两行(记为 ri?rj)；

(ii) 以非零数λ乘某一行的所有元素(记作λ×ri,λ≠0)； (iii) 将某一行各元素乘λ后加到另一行的对应元素上去(记作ri+λrj).将“行”换成“列”，

称为矩阵的初等列变换(所用记号把“r”换成“c”)．矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换．

定理5.2 对矩阵实施初等变换，矩阵的秩不变．

证 只要证明每一种初等行变换都不改变矩阵的秩，对初等列变换同理可以证明．下面证明作一次初等行变换时，矩阵的秩不变，由此，对A实施多次初等行变换时，矩阵的秩也不变．

(1) 设对A实施一次行变换(i)后成为矩阵B，则因行列式交换两行仅改变正、负号，知B的每一个子式都与A中对应的子式或者相等，或者仅改变符号，故秩不变．

(2) 设对A实施一次行变换(ii)后成为矩阵B，则因行列式某一行乘以λ≠0等于用数λ乘此行列式，知B的子式与A中对应子式或者相等，或者是其λ倍，故秩不变．

(3) 设A经初等行变换(iii)后成为矩阵B，且r(A)=r，下面证明r(B)≤r(A),同时r(A)≤r(B)，便有r(A)＝r(B)．

设

?a11???ai1?A???aj1???a?m1a12ai2aj2am2a1n???ain???, ajn???amn??不失一般性，假定将A的第j行乘以数λ加到第i行后成为B，

?a11???ai1??aj1?B???aj1???am1?a12ai2??aj2aj2am2???ain??ajn???, ajn???amn??a1n设 Mr?1是B的一个r+1阶子式，这时有3种情况：

①Mr?1中不含B的第i行，则由于A与B除第i行外彼此相同，故Mr?1也是A的一个r+1阶子式，因r(A)=r，故Mr?1=０；

②Mr?1含B的第i行且含第j行，由行列式的性质，Mr?1的值等于A中含第i行和第j行相应元素对应的子式，故Mr?1=０；

③Mr?1只含B的第i行而不含第j行，则由行列式的性质有

Mr?1＝Nr?1+λPr?1，

其中Nr?1和Pr?1是A的r+1阶子式或与A的r+1阶子式相差一个正、负号，故Mr?1=

０．

由于Mr?1只有上述3种情况，故B的任意一个r＋１阶子式都为零，因此r(B)≤r=r(A). 另一方面，我们将A看做是由B经第j行乘以(-λ)加到第i行得来的，由以上证明应有r(A)≤r(B),故r(A)=r(B).

据定理，可以用初等变换将矩阵化为较简单的形式，从而可直接看出矩阵的秩．例如限定只施行初等行变换总可以把矩阵变为一种“行阶梯矩阵”，其中不全为零的行的行数就是矩阵的秩．下面举例说明．

例1 求矩阵

?1?2?1??242A???2?10??333的秩． 解

02??6?6?

23??34?A?1??0?0??0?1??0?0??0?1??0?0??0?1??0?0??0?2?1003939030030002626020020062323602?3602?30?2?10?2?1?2?12???2??1???2?2???1??2???2?2???1?1???2?2???1?1?? 0?

上式中最后一个矩阵称为行阶梯矩阵，它具有的特征是：每个“阶梯”上只有一行，任

一行的第一个非零元素的左方和下方的元素均为零．从行阶梯矩阵中容易看到：行阶梯矩阵中有3行不全为零，我们总可以找到一个三阶的上三角形行列式为它的子式不等于零，如

1?2003002??9,， ?3而所有四阶子式都为零，所以r(A)＝３，即矩阵A的秩等于行阶梯矩阵中不全为零的行的行数． 若对行阶梯矩阵再施行初等行变换，则可将其进一步化为更简单的形式：

行阶梯矩阵

?1?2?1??012?3??000??000?1?100?3??0120?3??0001??0000?023102??1??3?1???3?0??

16?9??1??9??1??9?0??

上式中最后一个矩阵具有下述特征：非零行的第一个非零元素为1，且含有这些“1”的列的其他元素都为零，这个矩阵称为矩阵A的行最简形阶梯矩阵，简称行最简形．

m×n矩阵A经过初等行变换总可以化为行阶梯矩阵和行最简形，若再经过初等列变换，还可以化为如下的形式：

?1??0??I??0?0???0?01000001000??0???0?. 0???0??矩阵I称为A的标准形，其特点是：I的左上角有一个r阶单位阵(r(A)＝r)，其他元素都为0．

由此可以看出：所有m×n阶矩阵，若秩相等，则它们有相同的标准形．

定义5.4 若矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等价，记为A～B． 等价是矩阵间的一种关系，满足： (1) 自反性：A～A；

(2) 对称性：若A～B，则B～A；

(3) 传递性：若A～B，B～C，则A～C． 由定理52，若A～B，则r(A)＝r(B)． 三、 初等矩阵

对矩阵实施初等变换，可用矩阵的运算来表示．

定义5.5由单位阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵． 3种初等行变换对应3种形式的初等矩阵．

(1) ri?rj，得到

?1???????E（i，j）＝?????????

10111011?????????←第i行 ???????1?←第j行．

(2) ri×λ（λ≠０），得到

?1????E（i（λ））=??????

．(3)ri??rj ，得到

1?1??????←第i行 ???1???1????E（i，j（λ））=??????

1??1??????←第i行←第j行． ???1??

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库线性代数-（周勇）文档(10)在线全文阅读。