数据库系统教程1-7章课后答案（施伯乐）（第二版）(8)

ρ=｛ R1，?，Rn ｝是R的一个分解。如果对于R的每个关系r都有mρ（r）=r，那么称 JD *（R1，?，Rn）在模式R上成立。

4.2 用A1、A2和A3三条推理规则来证明4.2.3节中的定理4.2(推理规则A4～A8)。

(1) A4（合并性，union）：｛ X→Y，X→Z ｝?X→YZ。

证明：已知X→Y，根据A2，两边用X扩充，得到X→XY。从已知X→Z，根据A2两边用Y扩充，得到XY→YZ。再根据A3，从X→XY和XY→YZ可得到X→YZ。

(2) A5（分解性，decomposition）：｛ X→Y，Z?Y ｝?X→Z。 证明：已知Z?Y，可得Y→Z。从Y→Z和已知X→Y，可得X→Z成立。 (3) A6（伪传递性）：｛ X→Y，WY→Z ｝?WX→Z。

证明：已知X→Y，根据A2，两边用W扩充，得到WX→WY。据WX→WY和已知的WY→Z，。再根据A3，可得WX→Z成立。

(4) A7（复合性，composition）：｛ X→Y，W→Z ｝?XW→YZ。

证明：已知X→Y，根据A2，两边用W扩充，得到WX→WY。从已知W→Z，根据A2两边用Y扩充，得到WY→YZ。再根据A3，从WX→WY和WY→YZ可得到XW→YZ成立。

(5) A8 ｛ X→Y，W→Z ｝?X∪（W－Y）→YZ。

证明：已知X→Y，根据A2，两边用（W-Y）扩充，得到X∪（W-Y）→Y∪（W-Y），而 Y∪（W-Y）=WY，因此有X∪（W-Y）→WY。从已知W→Z，根据A2两边用Y扩充，得到WY→YZ。再根据A3，从X∪（W-Y）→WY和WY→YZ可得到X∪（W－Y）→YZ。

4.3 对函数依赖X→Y的定义加以扩充，X和Y可以为空属性集，用φ表示，那么X→φ，φ→Y，φ→φ的含义是什么？

答：据推理规则的自反律可知，X?ф和ф?ф是平凡的FD，总是成立的。

而ф?Y表示在当前关系中，任意两个元组的Y值相等，也就是当前关系的Y值都相等。 4.4 设关系模式R有n个属性，在模式R上可能成立的函数依赖有多少个？其中平凡的FD有多少个？非平凡的FD有多少个？

１解：这个问题是排列组合问题。FD形为X?Y，从n个属性值中选择属性组成X共有C０ｎ+Cｎ

nnnnn

+ ? +Cｎ=2种方法；同理，组成Y也有2种方法。因此组成X?Y形式应该有2·2=4ｎ

种方法。即可能成立的FD有4n个。

平凡的FD要求Y?X，组合X?Y形式的选择有：

０１（C０+C１）+C２·０１２ｎ０１ｎC０ｎ·C０+Cｎ·１１ｎ（C２＋C２+C２）+ ? +Cｎ（Cｎ＋Cｎ+ ? Cｎ）

0１·21+C２·22+ ? +Cｎ·2n=（1+2）n=3n =C０·2+Cｎｎｎｎ

即平凡的FD有3n。因而非平凡的FD有4n－3n个。

4.5 已知关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ A→B，B→C ｝，试写出F的闭包F+。

解：据已知条件和推理规则，可知F+有43个FD： A?ф AB?ф AC?ф ABC?ф B?ф C?ф A?A AB?A AC?A ABC?A B?B C?C

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A?B AB?B AC?B ABC?B B?C ф?ф A?C AB?C AC?C ABC?C B?BC A?AB AB?AB AC?AB ABC?AB BC?ф A?AC AB?AC AC?AC ABC?AC BC?B A?BC AB?BC AC?BC ABC?BC BC?C A?ABC AB?ABC AC?ABC ABC?ABC BC?BC 4.6 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛ A→B，C→B ｝，则相对于F，试写出关系模式R的关键码。并说明理由。

解：R的关键码为ACD。因为从已知的F，只能推出ACD→ABCD。 4.7 设关系模式R(ABCD)上FD集为F，并且F=｛AB→C，C→D，D→A｝。 ① 试从F求出所有非平凡的FD。 ② 试求R的所有候选键。

③ 试求R的所有不是候选键的超键。

解：① 从已知的F可求出非平凡的FD有76个。

譬如，左边是C的FD有6个：C→A，C→D，C→AD，C→AC，C→CD，C→ACD。 左边是D的FD有2个：D→A，D→AD。

左边是AB的FD有12个：AB→C，AB→D，AB→CD，AB→AC，??。 感兴趣的读者可以自行把这76个FD写齐。

② 候选键是能函数决定所有属性的不含多余属性的属性集。根据这个概念可求出R的候选键有三个：AB、BC和BD。

③ R的所有不是候选键的超键有四个：ABC、ABD、BCD和ABCD。 4.8 试举出反例说明下列规则不成立：

① ｛ A→B ｝?｛ B→A ｝

② ｛ AB→C，A→C ｝?｛ B→C ｝ ③ ｛ AB→C ｝?｛ A→C ｝

答：设有三个关系：

r1 A B r2 A B C r3 A B C 1 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 2 1 3 4 3 2 3

（1）在关系r1中，A→B成立，但B→A不成立。

（2）在关系r2中，AB→C和A→C成立，但B→C不成立 （3）在关系r3中，AB→C成立，但A→C不成立。 4.9 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛A→B，B→C｝，

① 试写出属性集BD的闭包(BD)+。

② 试写出所有左部是B的函数依赖（即形为“B→？”）。

+

解：①从已知的F，可推出BD→BCD，所以(BD)=BCD。

②由于B+=BC，因此左部是B的FD有四个： B→φ，B→B，B→C，B→BC。

4.10 设关系模式R(ABCDE)上FD集为F，并且F=｛A→BC，CD→E，B→D，E→A｝。 ① 试求R的候选键。 ② 试求B+的值。

解：① R的候选键有四个：A、E、CD和BC。

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② B+=BD。

4.11 设有关系模式R（ABC），其关系r如图4.1所示。 ① 试判断下列三个FD在关系r中是否成立？

A→B BC→A B→A

② 根据关系r，你能断定哪些FD在关系模式R上不成立？

A B C 1 2 3 4 2 3 5 3 3 图4.1 解：①在关系r中，A→B成立，BC→A不成立，B→A不成立。

②在关系r中，不成立的FD有:B→A，C→A，C→B，C→AB，BC→A。 4.12 设关系模式R（ABC）分解成ρ=｛ AB，BC ｝，如果R上的FD集F=｛ A→B ｝，那么这个分解是损失分解。试举出R的一个关系r，不满足mρ（r）=r。 解：这个反例r可以举测试时的初始表格： A B C AB a1 a2 b13 BC b21 a2 a3

π

AB（r）?πBC（r）有四个元组：

A B C

a1 a2 b13 a1 a2 a3 b21 a2 b13 b21 a2 a3

即mρ（r）≠r。

4.13 试解释数据库“丢失信息”与“未丢失信息”两个概念。“丢失信息”与“丢失数据”

有什么区别？

答：数据库中丢失信息是指r≠mρ（r），未丢失信息是指r=mρ（r）。 丢失信息是指不能辨别元组的真伪，而丢失数据是指丢失元组。 4.14 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ A→C，B→C ｝，试分别求F在

模式AB和AC上的投影。

答：πAB（F）=φ（即不存在非平凡的FD） πAC（F）={ A→C } 4.15 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ B→A，C→A ｝，ρ=｛ AB，BC ｝是R上的一个分解，那么分解ρ是否保持FD集F？并说明理由。 答：已知F={ B→A，C→A }，而πAB（F）={ B→A }，πBC（F）=φ， 显然，分解ρ丢失了FD C→A。 4.16 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ B→C，C→A ｝，那么分解ρ=

｛ AB，AC ｝相对于F，是否无损分解和保持FD？并说明理由。 答：①已知F={ B→C，C→A }，

而πAB（F）=φ，πAC（F）={ C→A } 显然，这个分解丢失了FD B→C

② 用测试过程可以知道，ρ相对于F是损失分解。

4.17 设关系模式R(ABCDEG)上FD集为F，并且F=｛D→G，C→A，CD→E，A→B｝。 ① 求D+，C+，A+，(CD)+，(AD)+，(AC)+，(ACD)+。

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② 试求R的所有候选键。

③ 用ρ1=｛CDEG，ABC｝替换R，这个分解有什么冗余和异常现象？ ④ 用ρ2=｛DG，AC，CDE，AB｝替换R，这个分解是无损分解吗？

⑤ 用ρ3=｛CDE，AC，DG，BCD｝替换R，先求F在ρ3的每个模式上的投影πRi（F），再判断分解ρ3保持FD吗？

解：① D+=DG，C+=ABC，A+=AB，(CD)+=ABCDEG，(AD)+=ABDG，(AC)+=ABC，(ACD)+=ABCDEG。 ② R的候选键只有一个：CD。

③ 用ρ1=｛CDEG，ABC｝替换R，在模式CDEG中，有局部依赖CD→G，此时在关系中，一个D值只有一个G值，但当这个D值与10个C值对应时，就要出现10个元组，则G值就要重复10次。

在模式ABC中，有传递依赖（C→A和A→B），此时在关系中，一个A值只有一个B值，但当这个A值与10个C值对应时，就要出现10个元组，则B值就要重复10次。

④ 用ρ2=｛DG，AC，CDE，AB｝替换R，据chase过程可知，相对于F，R分解成ρ是无损分解。

⑤ 用ρ3=｛CDE，AC，DG，BCD｝替换R， 则F在模式CDE上的投影为｛CD→E｝，F在模式AC上的投影为｛C→A｝， F在模式DG上的投影为｛D→G｝，F在模式BCD上的投影为｛C→B｝，

显然从这四个投影集中的FD推不出原来F中的A→B，因此分解ρ3不保持FD集。 4.18 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛ A→B，B→C，A→D，D→C ｝，

ρ=｛ AB，AC，BD ｝是R的一个分解。 ① 相对于F，ρ是无损分解吗？为什么？ ② 试求F在ρ的每个模式上的投影。 ③ ρ保持F吗？为什么？

答：①用测试过程可以知道，ρ相对于F是损失分解。

②πAB（F）={ A→B }，πAC（F）={ A→C }，πBD（F）=φ。

③显然，分解ρ不保持FD集F，丢失了B→C、A→D和D→C等三个FD。 4.19 设关系模式R（ABCD），R上的FD集F=｛ A→C，D→C，BD→A｝，试说明ρ=｛ AB，

ACD，BCD ｝相对于F是损失分解的理由。

答：据已知的F集，不可能把初始表格修改为有一个全a行的表格，因此ρ相对于F是损失分解。

4.20设关系模式R(ABCD)上FD集为F，并且F=｛A→B，B→C，D→B｝。 ① R分解成ρ=｛ACD，BD｝，试求F在ACD和BD上的投影。 ② ACD和BD是BCNF吗？如不是，试分解成BCNF。 解：① F在模式ACD上的投影为｛A→C，D→C｝，F在模式BD上的投影为｛D→B｝。

② 由于模式ACD的关键码是AD，因此显然模式ACD不是BCNF。模式ACD应分解成｛AC，AD｝或｛CD，AD｝。但是这个分解不保持FD，丢失了FD D→C或A→C。 另外，模式BD已是BCNF。

4.21设关系模式R(ABCD)，ρ=｛AB，BC，CD｝是R的一个分解。设F1=｛A→B，B→C｝，F2=

｛B→C，C→D｝。

① 如果F1是R上的FD集，此时ρ是否无损分解？若不是，试举出反例。 ② 如果F2是R上的FD集呢？

解：① 据chase过程可知，相对于F1，R分解成ρ是损失分解。 据构造初始表的规则，这个反例可以是下面的表格： r A B C D 1 1 0 0

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0 1 1 0 0 0 1 1

对于这个r而言，显然r≠ mρ（r）。

② 据chase过程可知，相对于F2，R分解成ρ是无损分解。 4.22 设关系模式R（ABCD），F是R上成立的FD集，F=｛ AB→CD，A→D ｝。

① 试说明R不是2NF模式的理由。 ② 试把R分解成2NF模式集。

答：①从已知FD集F，可知R的候选键是AB。

另外，AB→D是一个局部依赖，因此R不是2NF模式。 ②此时R应分解成ρ={ AD，ABC }，ρ是2NF模式集。 4.23 设关系模式R（ABC），F是R上成立的FD集，F=｛ C→B，B→A ｝。

① 试说明R不是3NF模式的理由。 ② 试把R分解成3NF模式集。

答：①从已知FD集F，可知R的候选键是C。

从C→B和B→A，可知C→A是一个传递依赖，因此R不是3NF模式。 ②此时R应分解成ρ={ CB，BA }，ρ是3NF模式集。

4.24 设有关系模式R（职工编号，日期，日营业额，部门名，部门经理），该模式统计商店

里每个职工的日营业额，以及职工所在的部门和经理信息。

如果规定：每个职工每天只有一个营业额；每个职工只在一个部门工作；每个部门只有一个经理。

试回答下列问题：

（1）根据上述规定，写出模式R的基本FD和关键码； （2）说明R不是2NF的理由，并把R分解成2NF模式集； （3）进而分解成3NF模式集。 解：（1）基本的FD有三个： （职工编号，日期）→ 日营业额 职工编号 → 部门名 部门名 → 部门经理 R的关键码为（职工编号，日期）。 （2）R中有两个这样的FD： （职工编号，日期）→（日营业额） 职工编号 → （部门名，部门经理）

可见前一个FD是局部依赖，所以R不是2NF模式。 R应分解成R1（职工编号，部门名，部门经理） R2（职工编号，日期，日营业额） 此处，R1和R2都是2NF模式。 （3）R2已是3NF模式。

在R1中，存在两个FD：职工编号 → 部门名

部门名 → 部门经理

因此，“职工编号 → 部门经理”是一个传递依赖，R1不是3NF模式。 R1应分解成R11（职工编号，部门名） R12（部门名，部门经理）

这样，ρ= { R11，R12，R2 }是一个3NF模式集。 4.25 设有关系模式

R（运动员编号，比赛项目，成绩，比赛类别，比赛主管）

存储运动员比赛成绩及比赛类别、主管等信息。

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