立体几何题型与方法(理科)(6)

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共面
　　（3）.a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵坐标），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.
　　①令=(a1,a2,a3),，则
　　，， ，
　　∥ 。
　　。
　　(向量模与向量之间的转化：)
　　空间两个向量的夹角公式
　　（a＝，b＝）。
　　②空间两点的距离公式：.
　　b.法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.
　　c.向量的常用方法：
　　①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.
　　②.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
　　③.直线与平面所成角(为平面的法向量).
　　④.利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.
　　二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.
　　d.证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且C、D、E三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.

７．知识网络

一、 经典例题剖析
考点一 空间向量及其运算
1. 已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
解析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对使或对空间任一点，有。
　　答案：由题意：，
∴，
∴，即，
　　　　所以，点与共面．
点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
2. 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．
解析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示．
答案:证明：如图，因为在上，且，所以．同理，又，所以
．又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面．由于不在平面内，所以平面．
点评：空间任意的两向量都是共面的．与空间的任两条直线不一定共面要区别开.
考点二 证明空间线面平
行与垂直
3. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1；
　　解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂

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