2013年高考理科数学试题与答案word解析版(6)

（3）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点

本小题主要考查同角三角函数的基本关系三角恒等变换三角函数的图像与性质函数函数的

导数函数的零点不等式等基础知识，考查运算求解能力抽象概括能力，考查函数与方程思想，

数形结合思想，分类与整合思想化归与转化思想，满分14分

解：（Ⅰ）由函数的周期为，，得

又曲线的一个对称中心为，

故，得，所以

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向

右平移个单位长度后得到函数

（Ⅱ）当时，，

所以

问题转化为方程在内是否有解

设，

则

因为，所以，在内单调递增

又，

且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，

即存在唯一的满足题意

（Ⅲ）依题意，，令

当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，

现研究时方程解的情况

令，

则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况

，令，得或

当变化时，和变化情况如下表

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；

当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；

当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点

由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直

线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以

综上，当，时，函数在内恰有个零点

21（本题满分14分）

（1）（本小题满分7分）矩阵与变换

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