高中数学解题基本方法(7)

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【另解】 由

xy

＝

sinθcosθ

＝tgθ，将等式②两边同时除以

cosθx

2

2

，再表示成含tgθ

的式子：1＋tg4θ＝(1 tg2 )

103(1

1tg

2

＝)

103

tg2θ，设tg2θ＝t，则3t2—10t＋3

＝0，

∴t＝3或

13

， 解得

xy

＝±3或±

33

。

【注】 第一种解法由

sinθxxy

＝

cosθy

而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。

第二种解法将已知变形为＝

sinθcosθ

，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两

种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

例6. 实数x、y满足

(x 1)9

22

＋

(y 1)16

2

2

＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。

【分析】由已知条件于是实施三角换元。

【解】由

(x 1)9

2

(x 1)9

＋

(y 1)16

＝1，可以发现它与a2＋b2＝1有相似之处，

＋

(y 1)16

2

＝1，设

x 13

＝cosθ，

y 14

＝sinθ，

x 1 3cosθ即： 代入不等式x＋y－k>0得：

y 1 4sinθ

3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)

所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组

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