高中数学解题基本方法(2)

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【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝

12

t

2

2

＋t－

12

，对称轴t＝－1，

当t＝2，ymax＝

＋2；

2小题：设x2＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,loga4]； 3小题：已知变形为

1an 11n

－

1an

＝－1,设bn＝

1an

，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)

＝－n，所以an＝－

；

4小题：设x＋y＝k，则x2－2kx＋1＝0, △＝4k2－4≥0,所以k≥1或k≤－1； 5小题：设3x＝y，则3y2＋2y－1＝0,解得y＝

13

，所以x＝－1；

54

6小题：设log2(2x－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2<y<1，所以x∈(log2Ⅱ、示范性题组：

例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求的值。（93年全国高中数学联赛题）

2

2

2

2

,log23)。

1Sma

x

＋

1Smin

【分析】 由S＝x2＋y2联想到cos2α＋sin2α＝1,于是进行三角换元，设

x y

ScosαSsinα

代入①式求Smax和Smin的值。

ScosαSsinα

x

【解】设

y

代入①式得： 4S－5S²sinαcosα＝5

解得 S＝

108 5sin2α

；

1013

108 5sin

103

∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴

1Smax

1Smin

310

1310

1610

85

≤≤

∴ ＋＝＋＝＝

8S 10

S

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝式：|

8S 10S

的有界性而求，即解不等

|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

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