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【分析】不等式中log2
4(a 1)
a
、 log2
2aa 1
、log2
(a 1)4a
2
2
三项有何联系？进行对
数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log2
log2
2aa 1
2aa 1
＝t，则log2
2
4(a 1)
a
a 12a
＝log2
8(a 1)2a
＝3＋log2
a 12a
＝3－
＝3－t，log2
(a 1)4a
2
＝2log2
＝－2t，
代入后原不等式简化为（3－t）x2＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以： 3 t 0 t 32a
，解得 ∴ t<0即log<0 22
a 1 t 0或t 6 4t 8t(3 t) 0
0<
2aa 1
<1，解得0<a<1。
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log2
4(a 1)
a
、 log2
2aa 1
、log2
(a 1)4a
2
2
三项之间的联
系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所
给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
例5. 已知值。
【解】 设
sinθxsinθx
＝
cosθy
，且
cosθx
2
2
＋
sinθy
2
2
＝
103(x y)
2
2
(②式)，求
xy
的
＝
cosθy
＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin2θ＋cos2θ＝
2
k(x+y)＝1,代入②式得：
103
222
kyx
2
22
＋
kxy
2
22
＝
103(x y)
2
2
＝
10k3
yx
22
＋
xy
22
＝
xy
22
设＝t，则t＋
1t
＝
103
, 解得：t＝3或 ∴
3
1xy
＝±3或±
33
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