07线性代数练习题(含答案)(8)

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题;因而,线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;通过解析几何,线性代数得以被具体表示。论。性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。在考研中的

1

(1 )

20

4 3 0

2

2 ( 1)( 5)，得特征值 1 5, 2 3 1 1

2

（4分）

4

当 1 5时A 5E 2

2

24 2

2 2 2 ～ 0

4 0

13 3

1 1

3 ～ 0

3 0

010

1

1 0

1 1

得基础解系 1 1 即得对应于 1 5的特征向量 1 1 （4分）

1 1 2

当 2 3 1时A E 2

2

2 2 2

2 1 2 ～ 0

2 0

100

1

0 ，得基础解系 0

2

1 1 1 1

1 , 3 0 。得对应于 2 3 1的特征向量 2 1 , 3 0 （4分） 0 1 0 1

1 1 1

, 111 23

1 1 1, 1(3)令P1 ，令 3 22322

2 33 2 0 1 2

1 1

1 1

P 1,P 1得2 3 ，令P＝ P1,P2,P3

2 6 0 2

131313

12120

161626

,（4分）

则P为正交阵，且作正交变换 x Py

使得f 5y1 y2 y3 （2分） 三、证明题（共8分）

, 2, 3, 4

１．设向量线性无关,且

1 1 2 3 4, 2 1 2 3 4,

1

222

3 1 2 3 4, 4 1 2 3 4

证明向量组 1, 2, 3, 4线性无关. (8分)

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