第三讲 复数域上的极限与连续(4)

z3z2n 1n

(2)形式上的令sinz z ( 1)

3!(2n 1)!

z3z2n 1n

定义序列zn z ( 1),利用上面同样的方法,可得

3!(2n 1)!

2n 1

z3z

sinz z ( 1)n

3!(2n 1)!

2n

z2nz(3)同理,也有cosz 1 ( 1) 2!(2n)!

由(1)(2)(3)得证eiz cosz isinz(Euler公式).

练习:

1. 设z (1 i)3

(1)z表示为实部虚部的形式; (2)求z,argz( , ); (3)求z的Euler指数表示; (4)z的三角表达式;

解 (1) z (1 i)3 (1 i)2(1 i) 2i(1 i) 1 2i, Rez 2,Imz 2.

(2)z (1 i)3 i 3 argz arctan

3i 4

3

Imz3

arctan( 1) .

Rez4

(3)z .

(4)z isin ) 3434 ). 22

2. 求(1)e;(2)cosi;(3)sini;(4)Re

1 i

1 i. 1 i

解 (1) e1 i e ei e(cos1 i sin1) Re(e1 i) e cos1,Im(e1 i) e sin1.

ei i e i ie 1 e

(2)cosi .

22

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