第三讲 复数域上的极限与连续

第三讲 复数域上的极限与连续

一．定义距离(两个复数之间的距离)

两个复数z1 x1 iy1,z2 x2 iyz的距离为

(z1,z2) z1 z2 .

有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论

x1 x2,y1 y2} z1 z2 x1 x2 y1 y2(如图2.1).

二．复数序列的极限

复数列{zn} n 1,存在z0 ,使得

z0 limzn 对 0, N 0,当 n N时,有

n

zn z0 .

图2.1 引理 若zn xn iyn,n 1,2, ,z0 x0 iy0,则

limx x0 n n

limzn z0 . n limy y0

n n

三．复函数的极限

定义 设f:D 单值函数w f(z),z0 x0 iy0是D的一个聚点(非孤立点).若对于 0, 0,当0 z z0 时,有f(z) A ,则称f(z)当

z z0时以A为极限,记为

z z0

limf(z) A.

引理 设z x iy,z0 x0 iy0,w f(z) u(x,y) iv(x,y),A a ib,则有

limu(x,y) a (x,y) (x0,y0)

. limf(z) A

z z0limv(x,y) b (x,y) (x0,y0)

四．复函数的连续

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