第三讲 复数域上的极限与连续(3)

复函项级数

u(z)绝对收敛 u(z)收敛.

k

k

k 1

k 1

x

xx2xn

补充内容:实数域上有e 1

1!2!n!

x3x2n 1n

sinx x ( 1)

3!(2n 1)!

2nx2nx cosx 1 ( 1) 2!(2n)!

下面把上面的情况推广到复数域上:

ix(ix)2(ix)n

(1)形式上的令e 1 (x )

1!2!n!

ix

由i2 1得eix cosx isinx. 下面是对Euler公式的严格定义和证明:

zz2zn

设z ,对n 1,2, ,令zn 1 得到序列{zn},不妨设

1!2!n!

m n,那么

zn 1zn 2zmzn 1zn 2zm

zm zn

(n 1)!(n 2)!m!(n 1)!(n 2)!m!

(1)

2

znzz

,{an}收敛于ez,因为{an}再对实数序列进行分析{an 1

1!2!n!

收敛,由柯西准则有

(n 1)!(n 2)!m!

由(1)可知{zn}也是柯西序列,所以{zn}收敛.记{zn}的极限为ez, 即 z 定义

zz2znzn

e 1

1!2!n!k 1n!z

zn 1zn 2zm

zn

级数 收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域 .

k 1n!

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