用准稳态法测介质的导热系数和比热的实验报告(9)

将（2）式代入（1）式，得到u(x, )满足的方程及边界，初始条件

u(x, ) 2u(x, )

a 2

x

u(R, ) u(0, )

0 0 （3）

x x

qc2

u(x,0) t x0 2 R

用分离变量法解方程（3），设

u(x, ) X(x) T( ) （4） 代入（3）中第1个方程后得出变量分离的方程

T'( ) 2T( ) 0 （5） X"(x) 2X(x) 0 （6） （5），（6）式中 为待定常数。 方程（5）的解为

T( ) e

2

（7）

方程（6）的通解为

x csin x （8） X(x) ccos

为使（4）式是方程（3）的解，（8）式中的c，c， 的取值必须使X(x)满足方程（3）的边界条件，即必须c 0， n /R。

由此得到u(x, )满足边界条件的1组特解

n

un(x, ) cncosx e

R

an2 2R'

'

'

（9）

将所有特解求和，并代入初始条件，得

cncos

n 0

qn

x t0 cx2 （10） R2 R

qc2

x的傅氏余弦展开式的系数 2 R

为满足初始条件，令cn为t0

c0

qc21R

(t x)dx0 0R2 R

（11）

qcR t0

6

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