数列总结 - -递推数列求通项公式的典型方法(4)

所以a20?a2??3，选B

探究递推公式为分式型数列的通项问题

对于形如递推公式为aAan?1?Bn?Ca（C?0，AD?BC?0）的数列

n?1?D?an?，这类问题有一般性的公式解法，通常用特征方程求不动点，即先求解

递推公式所对应的特征方程，求出不动点，然后再解。

虽然这类题本身有特征方程求不动点等的知识背景，但高考题并不考，也不依赖于这知识，从所给的标准答案来看，其立意在于将递推数列求通项问题转化为已知数列的已知知识来解决，即转化为等差数列或等比数列来解决。

那么，有没有不用高等数学知识，而只用高中数学知识的方法？这类问题是否存在通项公式？若存在又怎么来求？下面通过具体例子介绍一种方法，仅供参考!

例题

例题1：（2010年全国高考数学理科第22题）

已知数列?a1n?中，a1?1，an?1?c?a.

n（Ⅰ）设c?52，b1n?a，求数列?bn?的通项公式；

n?2（Ⅱ）求使不等式an＜an?1＜3成立的c的取值范围.

分析：

（Ⅰ）题目已经明确告诉学生要构造：an?2的倒数，也就是说在

a5n?1??1，两边同时减2得：a51a?2n?1?2?2?a?2?n2a，再倒数即：nn2an1a?4?2，亦即bn?1?4bn?2，下一步再变形：

n?1?2an?2b2n?1?3?4???b2??2?1n?3??，所以??bn?3??是首项为?3，公比为4的等比数列，

进而可求出数列?bn?的通项公式。 （Ⅱ）略

例题2：（2008年全国高考数学陕西卷理科第22题） 已知数列?a3n?的首项a1=

5，a3ann?1=2a，n=1，2, 3??? n?1（ⅰ）求?an?的通项公式； ﹙ⅱ﹚证明：对任意的x＞0, a1n≥

1?x－

1?1?x?2???2??3n?x??, n=1，2，3????an2（ⅲ）证明：a1?a2????n＞n?1

分析： （ⅰ）由aan?3?2n?1=32a两边同时加上?，得a??an??n?1＋?＝

；

n?12an?1倒

数

得

11?2?a??2a?n?13?2???3??2??2???2??1n?1?an??an??1?3?2????3?2?a??n3?2??2；

令

?3?2???，（目的使分母成“an??” 型）；得??0，或??－1，不妨

取??0，于是有

1＝2＋1，变形1－1＝

1??1a?a?1??，

又1?1＝2，n?133anan?13n?a13所以，数列??1?1??是以2为首项，1为公比的等比数列。于是：?an?33有

2123n1 ?1??n?1?n，得an?n

3333?2an﹙ⅱ﹚略

例题3：（2007年全国高考数学理科试卷第22题）： 已知：数列?an?中，a1?2，an?1?则（1）式可化为由方程x?3?2x211? （2） ??bn?1?x2x?3bn?x2x?3?2?1an?2，n?1，2，3???

???3x?4 得x?±2;不妨取 x??2 2x?31123?22（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bbn?4n?中b1?2，bn?1?32b，n?1，2，3???

n?3证明：2＜bn≤a4n?3， n?1，2，3 分析： （Ⅰ）由题设可得

an?1?2??2?1??an?2?

所以数列?an?2?是首项为2?2，公比为2?1的等比数列 所以an?2????2?1?n?1??? , n?1，2，3???

（Ⅱ）对于b3b?4n?1?n2b?3两边同时加x

n得：b?x?3bn?4?2x?3?bn?n?12b?x；即：b3x?4n?1?x?2b

n?3n?3倒数： 12bn?3b?x??2x?3?b n?1n?3x?4即: 1?3b??n?1?x??2x?3?2?3x?4???2x?3?2???1?b3x?4?22x?3 n?2x?3可令：x?3x?42x?3，目的是使分母变成“bn?x”型

则（2）式可变为 b???

n?1?23?22bn?23?22即： 1b??2?1?4?1b?2?2?1?2

n?1?2n?2它是形如“an?1?pan?q”的式子；易求 b22n?2??2?1?4n?2

?1?所以：b2?n?2??1????；显然，b＞2。??2?14n?2?1?n

??由(ⅰ)知：an?2????2?1?n?1??? 所以 a4n?3??4n?3?2????2?1??1?1????2??1???4n?3 ???2?1???于是：a1?4n?3?bn?2??1???2??????2?2?1?4n?3?1???????2?1?4n?2

?1???1） ? ?2?12???n?3????2?1?4?2?1?4n?2?1? ??（ ?2??2?1?4n?2?1?2?2?1?4n?3?2?1?4n?3?4n?2

???2?1??1???4n?3 ?2??2?1??2?1??1?4n?34n?2

2?1??????2?1??1??4n?4 ?2??2?1??1?2?1?4n?3?4n?2???2?1??1? ?? ≥0

所以， bn≤a4n?3

综上可知，2＜bn≤a4n?3，n?1，2，3???

探求：

对于aan?Bn?1?A?C?a(C?0,A?D?B?C?0)型通项公式的方法可以推

n?D广到一般，结果总结如下：

对于aAan?1?Bn?Ca?D两边同时加x，得：aAan?1?Bn?x?CaD?x

n?1n?1?即：ax?(A?Cx)an?1?(B?Dx)n?Ca?D

n?1倒数： 1a?Can?1?D n?x(A?Cx)an?1?(B?Dx)CC?B?即：1A???A?Cx?an?1??B?Dx????D?Dx?a??CxA?Cxn?x(A?Cx)a n?1?(B?Dx)D?C?B?Dx?所以：1A?Ca?Cx?Cx)a?

n?x(An?1?(B?Dx)A?Cx即：

1?DC?Ba?x???A?Cx??Dx??(A?Cx)2???1?C na?B?DxA?Cxn?1A?Cx为了使上述等式左右成“1a”形式，可令B?Dx?xn?xA?Cx

则：1D?Cx1Cax?A?Cx?a?

（*） n?n?1?xA?Cx由方程B?DxA?Cx?x，得： Cx2?(A?D)x?B?0 (C?0)

方程有解的条件为：(A?D)2?4BC≥0

在此条件下可求出该方程解：x1，x2；不妨令x?x1

则（*）式可变为：1D?Cx11Ca??Cx??

?Cx n?x1A1an?1?x1A1设b11n?a，bn?1?

n?x1an?1?x1则bpbq （其中p?D?Cx1Cn?n?1?A?Cx，q?）

1A?Cx1对于上述数列?bn?是很容易求出它的通项公式的。

即可求出数列??1??a?的通项。进而求出数列?an?通项公式来。

n?x1?以上方法尽管相对较麻烦些，但它用得知识点和方法都是高中数学内容所

要求的。因为原数列既不是等差数列也不是等比数列，但我们在原数列上“加”上一个适当的数，再“倒”过来，就可以用我们所掌握的等差，等比知识来求了，所以不妨称之为“加倒法”。它是一种初等的方法。

练习：

1. （河北省定州市实验中学 张志兰）中学数学教学参考2009.1——2。P76

3a?2?已知数列?an?中，a1=3， an?n?1，?n?2,n?N?，

an?1式。

答案

2n?1?11．先求得数列?an?的通项an?，进而求出数列?bn?的通项

（ⅰ）若数列?bba?2n?满足n?n1?a，证明：?bn?是等比数列；

n﹙ⅱ﹚求数列?an?的通项公式以及最大项，并说明理由； （ⅲ）求limx??an的值。

2．（广西师大附中 李天红）中学数学教学参考2009.1——2。P80 已知函数f?x??x?3x?1，设数列?a，a?n?满足a1?1n?1?f?an??n?N?，n数列?bn?满足bn?an?3，记Sn??bi

i?1（ⅰ）求数列?an?的通项公式； n﹙ⅱ﹚求证：bn??3?1?2n?1；

（ⅲ）求证：S23n＜3

3．已知各项均为正数的数列?a7an?4n?满足an?1?2a，且a11?，求数列?ann?52?的通项公式。

4．已知数列?a3an?1n?中，a1?2，an?1?a，求数列?an?的通项公式。 n?15．已知数列?a7an?2n?满足an?1?a?4，首项为a1?3，求数列?an?的通项公

n式。

6．已知数列?a3an?11n?满足an?1?4a，首项为a1?，求数列?n?72an?的通项公

2n?1nb????1?n?2??

n2．（ⅰ）a3?1?3??3?1?3?nn??nn；

1?3???1?3?2?3n?13．a?1n?3n?1?1， 5．a1n?， 2???6?n?1?5???1

4．an?3n?1?n?1，

6．an?9?4n2?8n；

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