数列总结 - -递推数列求通项公式的典型方法(2)

形如an?1?pan?qan?1(其中p,q为常数)型

（1）当p+q=1时 用转化法

例4.数列{an}中，若a1?8,a2?2,且满足an?2?4an?1?3an?0,求an. 解：把an?2?4an?1?3an?0变形为an?2?an?1?3(an?1?an). 则数列?a?a?是以a?a??6为首项，3为公比的等比数列，则

anbn?是以2为公比的等比数列，bn?log2?1，则bn?2bn?1，?b1?log12?1?1

bn?1?2n?1?2n?1，

n?1n?1nloga2?1?2，

log?2an2n?1?1，∴an?22?1

练习 数列?an?中，a1?1，an?2an?1（n≥2），求数列?an?的通项公式. n?1n21an?1?an??6?3n?1 利用类型6的方法可得 an?11?3n.

（2）当p2?4q?0时 用待定系数法.

例5. 已知数列{an}满足an?2?5an?1?6an?0，且a1?1,a2?5,且满足,求an.

解：令an?2?xan?1?y(an?1?xan),即an?2?(x?y)an?1?xyan?0,与已知

a?0比较，则有??x?y?5n?2?5an?1?6an,故??xy?6?x?2或??y?3?x?3 ?y?2下面我们取其中一组??x?2y?3来运算，即有an?2?2an?1?3(an?1?2an),

??则数列an?1?2an?是以a2?2a1?3为首项，3为公比的等比数列，故

an?1?2an?3?3n?1?3n,即an?1?2ann?3,利用类型 的方法，可得

an?3n?2n.

评注：形如an?2?aan?1?ban的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程(x?a)x?b的二根为?,?,设ann?p??n?q??,再利用a1,a2的值求得p,q的值即可.

形如arn?1?pan(其中p,r为常数)型

（1）p>0，an?0 用对数法. 例6. 设正项数列?a，a2n?满足a1?1n?2an?1（n≥2）.求数列?an?的通

项公式.

解：两边取对数得：loga2n?1?2logan?1，logaa22n?1?2(log2n?1?1)，设答案：a?22?nn?22

（2）p<0时 用迭代法.

课堂小结：学生的体会是多方面、多角度的，因此小结内容也很灵活。 知识方面：数列的概念、数列的通项公式

能力方面：掌握研究问题的一般方法，主要有：观察、发现、归纳、总结、类比

思考问题：是否每一个数列都能写出它的通项公式？每一个数列的通项公式是否唯一？根据前n 项写出的不同形式的通项公式所确定的数列是否是相同的？求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列。

利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，下面介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略.

一、构造等差数列法

例1.在数列{an}中，a1?3，nan?1?(n?2)an?2n(n?1)(n?2)，求通

项公式an。

解：对原递推式两边同除以n(n?1)(n?2)可得：

an?1(n?2)(n?1)?an(n?1)n?2①

令bnn?a(n?1)n②

则①即为ba13n?1?bn?2，则数列{bn}为首项是b1?(1?1)×1?2，公差

是b?bb31n?1n?2的等差数列，因而n?2?2(n?1)?2n?2，代入②式中得

a1n?2n(n?1)(4n?1)。

故所求的通项公式是

a1n?2n(n?1)(4n?1)

二、构造等比数列法

1.定义构造法

利用等比数列的定义q?an?1a，通过变换，构造等比数列的方法。 n例2.设在数列{an}中，a1?2，an?1?a2n?22a，求{an}的通项公式。 n解：将原递推式变形为

a(an?2)2n?1?2?2a① n(a2an?2)n?1?2?2a② n①/②得：

an?1?2a?[an?2n?1?2a]2，

n?2即lgan?1?2alg[an?2

n?1?2?2an?2]③设ban?2n?lg[an?2]④

③式可化为

an?1a?2，则数列{bn}是以b1＝nlg[a1?22?2a1?2]?lg2?2?2lg(2?1)为首项，公比为2的等比数列，于是

blg(2?1)×2n?1?2nlg(2?1)，代入④式得：an?2n?2an?2＝

n(2?1)2n，解得a2[(2?1)2?1]n?(2?1)2n?1为所求。

2.an?1?Aan?B（A、B为常数）型递推式 可构造为形如an?1???A(an??)的等比数列。

例3.已知数列{an}，其中a1?1，an?1?3an?2，求通项公式an。

解：原递推式可化为：an?1?1?3(an?1)，则数列{an?1}是以a1?1?2为首项，公比为3的等比数列，于是an?1?(an?11?1)×3?2×3n?1，故

an?1n?2×3?1。

3.an?1?Aan?B·Cn（A、B、C为常数，下同）型递推式

可构造为形如an?1??·Cn?1?A(an??·Cn)的等比数列。

例4.已知数列{aann}，其中a1?1，且an?1?2n·a，求通项公式an。n?3 解：将原递推变形为

1a??31n?1a?2n，设bn＝a。① nn得bn?1??3bn?2n②

设②式可化为bn?1n?1??·2??3(bn??·2n)，比较得???15于是有 b11n?1?5·2n?1??3(bn?5·2n)

数列{b1n?5·2n}是一个以b1231?5·21?1?5?5为首项，公比是－3的等比数列。

所以b1n?5·2n?35(?3)n?1，即b11n?5·2n?5(?3)n，代入①式中得： a5n?2n?(?3)n为所求。

4.an?1?Aan?Bn?C型递推式

可构造为形如an?1??1n??2?A[an??1(n?1)??2]的等比数列。 例5.在数列{a3n}中，a1?2，2an?an?1?6n?3，求通项公式an。 解：原递推式可化为2(an??1n??2)?an?1??1(n?1)??2，比较系数可得：?1??6，?2?9，上式即为2bn?bn?1，{bn}是一个等比数列，首项b1?a1?6n

?9?92，公比为12。 所以bn?92(1n?12)。 即a1n1nn?6n?9?9·(2)，故an?9·(2)?6n?9为所求。

三、函数构造法

对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。

例6.在数列{a中，a3n}1?1，an?1?an?3an，求通项公式an。

分析：首先考虑所给递推式与公式(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3的联

系。

解：设a1?x?x?1，则

a32?a1?3a1?(x?x?1)3?3(x?x?1)?x3?x?3同理a3?x9?x?9，a274?x?x?27，?。

即

a30?3031?3132?321?x?x，a2?x?x，a3?x?x，x33?334?x?x?，猜

想a?1n?x3n?x?3n?1。下面用数学归纳法加以证明（证明略）

。 由于ax?x?11?1，即?1，解得x?3±52，于是a3±5n?(2)3n?1? (3±5?3n?2)1为所求。 转化为常见类型求解：

例2 设数列?an?满足下列条件，试求各通项： （1）a1?1,nan?1?(n?1)an?1(n?1,2,3?)

（2）a1?1,an?2an?1?(?1)n?1(n?2,3,4?)

（3）aaaan?11?1,2?10,na?(n?3,4,5?)

n?1an?2解：（1）naan?1a1n?1?(n?1)an?1??1?nnn?n(n?1)

令ban,则b，b1n?n1?a1?1n?1?bn?n(n?1)

本题用n(n?1)除递推式两边，再进行变量代换，就可转化为“an?1?an?f(n)型”，

可得b1n?2?n?an?nbn?2n?1

（2）递推式两边同除以2n，得an2n?an?12n?1?(?12)n，就可转化为“an?1?an?f(n)型”，当然，也可以在递推式两边同除以(?1)n，得

an2an?1anan?1(?1)n?(?1)n?1即(?1)n??2?(?1)n?1?1， 则可转化为“a?q型”，所以得a1?nn?1n?1?p?ann?32?(?1)?

（3）递推式两边同取对数，得lga1n?lgan?1?2(lgan?1?lgan?2)

令bn?lgan?1?lgan，则??b1?lga2?lga1?1???b1?b?(1)n?1(n?1,2,3?) n?1?2bn?2(n?3,4,5,?)n2?lga(1n?1a1(1)n?1n?n?1?lgan?2)?a?102，已转化为“an?1?an?f(n)n型”，由累乘相消法可得

?1a11??2?1?n?12??2???1?nn24(12)n?1???2???????1????????2??a?10?10?10??10?10?an?10

1根据上述的介绍，下面问题你能解决吗？

练习：设数列?an?满足下列条件，试求各通项：

（1）a1?0,an?3an?1?2(n?2,3,4?) （2）a1?a,an?1?an?n(n?1,2,3?) （3）a1?1,(n?2)(an?1)?nan?1(n?1,2,3?) （4）a1?1,an?1?an?nan?1an(n?2,3,4?) （5）an?11?1,an?3?2an?1(n?2,3,4?)

（6）a1?0,a2?1,an?2?3an?1?2an?1(n?1,2,3,?) （7）a1?7,an?1?5an?2?3n?1?4(n?1,2,3,?) （8）a?11?1,a4?ann?3?a(n?2,3,4,?)

n?1

专题二 由递推公式求通项的技巧

（1） 递推式为：an+1=an+f(n)型??（用迭加法）

例1、已知{a}中a11n1?2,an?1?an?4n2?1,求an

（2） 递推式为：an+1=pan+q型(p,q为常数)??(用特征根法转化成等比数

列）

例2、{an}中，a1?1,对于n?N,有an?1?3an?2,求an

（3） 递推式为：an+1=pan+qn型(p,q为常数)??(同除qn或qn+1，再用特征

根法转化成等比数列)

例3、{a511n?1n}中，a1?6,对于n?N有an?1?3an?(2),求an

（4） 递推式为：an+2=pan+1+qan型(p,q为常数)??(变行为：an+2--αan+1=

β(an+1--αan)

例4、{an}中，a1?1,a2?2,有an?2?23a1n?1?3an,求an

(5) 递推式为sa?a1............(n?1)n与n的关系式：此类型可利用an???sn?sn?1....(n?2)例5、设{an}中，an?1?sn?n?1,a1?2,求an

例6、已知{a中，s1n}n为其前n项的和，且sn?4(an?1)2,求an(6)型如:an?1a???（用迭乘法）n例7、已知ann?1?n?1?an，求an

(7)型如：an?ann?1?t??（此类题把an分成奇数项与偶数项）例8、已知{an}中，a1?1,an、an?1是方程x2?bnx?13n?0的两根，1）求an的通项2）{bn}的前n项和Tn的极限

(8)双递推???同一个题中，出现两个递推式（用“减少变量”法）例9、已知数列a222n?0，bn?0，an、bn、an?1成等差；bn、an?1、bn?1成等比，且a1?1，b1?2,分别求出an，bn的通项

例10、已知{an}、{bn}满足a1?1，b1?2,an、bn、an?1成等比，bn、an?1、bn?1成等差，分别求出an、bn的通项

（（

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