数列总结 - -递推数列求通项公式的典型方法(3)

递推数列求通项公式的基本类型及其对策

高中数学递推数列通项公式的求解，在高考中娄见不鲜，其丰富的内涵及培养学生思维逻辑性具有较高的价值，同时对于培养学生的归纳推理能力也具有十分重要的意义，下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供读者参考。

an?an?1?f(类型一、

n)或an?1a?g(n)型n

对策：利用迭加或迭乘方法，即：

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1或

aanan?1a2n?a?????a1n?1an?2a1

例1、（2006年山东高考文科）已知数列｛aa1n｝中，

1?2，点（n，2an?1?an）在直线y=x上，其中n=1,2,3?.

(Ⅰ)令bn?an?1?an?1,求证数列?bn?是等比数列；

(Ⅱ)求数列?an?的通项；

解析：（I）∵点（n，2an?1?an）在直线y=x上 ∴2an?1?an?n ① ∴2an?an?1?n?1 ② ①

－

②

得

：

2an?1?3an?an?1?1 ∴

an?1?an?1?12(an?an?1?1)

又b?1∴bn?an?1?ann?12bn?1

而2aa2?a1?1得

2?34

∴数列{bb1??31n}是以首项为

1?a2?a1?4，公比为2的等比数

列

n?1n?1b?3?1?a?a3?1?（II）由（I）得

n?4??2??，∴

n?1n?1??4??2??

n?1a即n?1?a3?1?n?1?4??2??

由：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1

n?2?1?3?13?1n?30?1????1?3?1?1

4???2??4???2??4??2???2

3 =2n?n?2

类型二、Sn?f(an)型

a?a1(n?1)n??对策：巧用

?Sn?Sn?1(n?2) 例2、（2007年福建高考文科）数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn (n∈N*).求数列{an}的通项an。

解析：（I）∵an+1=2Sn,, ∴Sn+1-Sn=2Sn,

Sn?1∴Sn=3.

又∵S1＝a1=1,

∴数列｛Sn｝是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*). ∴当n?2时，an-2Sn-1=2·3n-2(n?2),

??1，n?1?an?2,n?2.∴n=??2·3

类型三、an?pan?1?q(pq?0)型

a对策：等价转化为：

n?qp?1?p(aqn?1?p?1)从而化为等比数列

a?q{

np?1aq}，并且该数列以1?p?1为首项，公比为p

例3、（2006年福建高考理科）已知数列

?an?满足

a1?1,an?1?2an?1(n?N*).求数列?an?的通项公式.

解：?a*n?1?2an?1(n?N), ?an?1?1?2(an?1),

??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列 ?ann?1?2 .

即 a2*n?2?1(n?N).

变式1：an?pan?1?rqn(pqr?0)型

anan?1对策：（1）若p=q，则化为qn?qn?1?ra1，从而化为以q为首项，公

an差等于r的等差数列{qn}

anpq?an?1（2）若p≠q，则化为qn?qn?1?r，进而转化为类型三求通项

例4、已知数列{an}满足

an?4an?1?2n(n?2，n?N*)，且a1?2.求及an.

aa解析： ∵ annn?1n?4an?1?2 ∴2n?2?2n?1?1

an令

bn?2n，则bn?1?2(bn?1?1)

∴{bbn+1}是以首项为

1?a12?1?2，公比为2的等比数列

∴bn?1?2n

ann∴2n?1?2得数列{an}的通项公式为

an?22n?2n 变式2：an?pan?1?qn?r(pq?0)型

对策：等价转化为：an?xn?y?p(an?1?xn?y)，再化为

an?xn?y?pan?1?(p?1)xn?(p?1)y，对照系数，解出x，y，进而转

化为类型三

例5、题见例1（2006山东高考文科）

解析：∵点（n，2an?1?an）在直线y=x上 ∴2an?1?an?n ①

令

a?x(n?1)?y?1n?12(an?nx?y)，可化为：

2an?1?an?xn?2x?y?0与①比较系数得x??1，y?2

∴ ①可化为：

an??(n?1)?2?112(an?n?2)

a?(1)n?1(a?1?n∴

n?n?221?1?2)?3???2?? ∴a3n?2n?n?2

apann?1?变式3、

qan?r型

1?rq对策：取倒数后得an?1p?1a?np，化为类型三

an?1?3an例6、已知数列{an}满足a1=1，

3an?6，求an

a3an1解析：由

n?1?3a?2?1?1n?6，得an?1an 1?1?2(1即：an?1a?1)n，以下请读者解决。

变式4：

arn?pan?1(p?0)型 若p=1，则等式两边取常用对数或自然对数，化为：lgan?rlgan?1，

得到首项为lga1，公比为r的等比数列{lgan}，所以lgan?1n=

rlga1，得arn?1n?a1

若p≠1，则等式两边取以p为底的对数得：lgpan?rlgpan?1?1，转为类型三求通项。

例7、（06年石家庄模拟）若数列{an}中，a1?3且

a2n?1?an(n为正整数)，则数列的通项公式为

解析：∵an?1?a2n及a1?3知an?3，两边取对常用对数得： lgan?1?2lgan ∴{lgan}是以首项为lga1?lg3，公比为2的等比数

列。

lga?n?12n?1∴n2lg3 ∴an?3

变式5、an?1?pan?qan?1an(pq?0)型

1对策： 两端除以an?1an得：a?p1na?qn?1

11（1）若p??1，则构成以首项为a1，公差为?q的等差数列{an}；

例8、（07保定摸底）已知数列{an}满足a1?1,n?2时，

an?1?an?2an?1an，求通项公式an。

解：∵an?1?an?2an?1an

11∴a?1na?21?1n?1，∴数列{an}是以首项a1，公差为2的等差数列

1?1?2(n?1)?2n?1∴an

∴

an?12n?1

（2）若p??1，转化为类型三求解。 变式6：an?1?pan?qan?1(pq?0)型

对策：等价转化为an?1?xan?y(an?xan?1)，利用与

an?1?pan?qan?1恒等求出x,y得到一等比数列{an?1?xan}，得an?1?xan=f(n)，进而化为变式2类型

例9、题见例1（2006山东高考文科）

解析：∵点（n，2an?1?an）在直线y=x上 ∴2an?1?an?n ① ∴2an?an?1?n?1 ② ①

－

②

得

：

2an?1?3an?an?1?1∴

an?1?an?1?12(an?an?1?1)

∴数列{a1}是以首项为

an?an?1?2?a1?1??314，公比为2的等比数

列

以下同例1（II）求通项an 类型四、奇偶项型

对策一：求出奇数项（或偶数项）的递推关系，再对应以上方法求解。 例10（2005年高考北京卷改编）设数列{an}的首项

a1?a?14，且

?a??1n?1?2an,n为偶数??a1n?4,n为奇数，求an

?12a12(a111解：若n为偶数，则

an?1n?n?1?4)?2an?1?8

即

a2n?1?112a2n?1?8

a111?1?21?1?n1∴

2n?1?4?2(a2n?1?4)???2??(a2n?3?4)?????2??(a1?4) na1?1?1∴2n?1?4???2??(a1?4) na∴

2n????1??2??(a?1114)?4 若n为奇数，则

a1n?1?an?4?12a1n?1?4

即

a2?12a1n2n?2?4，

2n?1a111?1?1?1a∴

2n?2?2(a2??2??(a?2n?2?)?2n?4?2)?????2??(12?2)n?1a???1?2n?2??(a?1∴

4?12)?12

?n????1??21(a?1a?24)?12,n为偶数n?????n?1????1??2?2?(a?114)?4,n为奇数

对策二：

an?1?an?pqn(pq?0)型，这种类型一般可转化为{a2n?1}与{a2n}是等差或等比数列。

例11、在数列{ann}中，a1?1，anan?1?2，求an 解：由anan?1?2n，得an?1n?1an?2?2

an?2?两式相除得：a2n，∴{a2n?1}与{a2n}均为公比为2的等比数列，

易求得：

?n?1a???22,n为奇数n?n?22，n为偶数

类型五、周期型

例12、（2005年高考湖南卷）已知数列{an}满足

a1?31?0，an?1?a3an?N*)，则a20?n?1(（ ）

3A．0 B．?3 C．3 D．2

a1?0，an?1?a1?3略

解

：

由

3an?1，

得

aa1?32?3a1?1??3，a3?3，a4?0，因此数列是以3为周期的数列，

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