2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学（理科）[解析版](4)

nx2?ax*(n?N)的图象在点(0,fn(0))处的切线方程为y??x。 20、已知函数fn(x)?2x?1（Ⅰ）求a的值及f1(x)的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数k，使得y?kx(x??3)与曲线y?f1(x)有三个公共点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。 （Ⅲ）设x1,x2,xn为正实数，且x1?x2??xn?1，证明：fn(x1)?fn(x2)??fn(xn)?0

nx2?ax【解析】解：（Ⅰ）因为fn?x??,

x2?1所以fn?2nx?a??x2?1???nx2?ax??2x?ax2?2nx?a. '?x????x2?1?2?x2?1?2因为曲线y?fn?x?在点?0,fn?0??处的切线方程为y??x, 所以fn'?0???1,即?a??1,解得a?1. 于是fn'?x??x2?2ax?1?x2?1?2

由f1'?x??0,即

x2?2x?1?x?x2?1??2?0,解得x??1?2,或x??1?2;.

由f1'?x??0,即

x2?2x?12?12?0,解得?1?2?x??1?2.

所以f1?x?的递增区间为??,?1?2,?1?2,??;. 递减区间为?1?2,?1?2.

???????x2?xx?1x2?x?y?2x?0y?k. ?kx（Ⅱ）由?消去得,即或x?122x?1x?1??y?kx要使射线y?kx?x??3?与曲线y?f1?x?有三个交点, 只要方程

x?1?k,即kx2?x?k?1?0有两个大于或等于?3且不等于0的不等实根. 2x?12①当k?0时,k?x?k?1?0可化为?x?1?0,解得x?1,不符合要求;

2②当k?0时,令g?x??kx?x?k?1.

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2?k??或k?0??k10k?4?0?kg??3??0??5?k?1?0?g?0??0?k??1???由?即?1?4k?k?1??0即??1?2?1?2,

??0?k??1?2?12???3????31?2k?2k?k??或k?06?解得0?k??1?2?1?22,或?k??,且k??1. 225综上,存在实数k,使得射线y?kx?x??3?与曲线y?f1?x?有三个交点,

??1?2??2???1?2????. ,?1????1,????0,且k的取值范围是???25??2????nx2?xx2?2nx?1（Ⅲ）证明:因为fn?x??2.fn'?x??, 22x?1x?1??n2?1??1?所以fn???0,fn'???. 2?n??n?1?n?1?1??n2?1?所以曲线y?fn?x?在点?处的切线方程为y?x?.f???. ??2?nnn?n?1?n?????当0?x?1时,

n2?1?nx2?xn2?1??n?x??nx?1?fn?x??2?x???2?2?x???2?0, 2n?1?n?x?1n?1?n?x?1n?12????n2?1?故fn?x??2?x??.

n?1?n?因为xi?0,i?1,2,??,n,且x1?x2???xn?1,所以0?xi?1,i?1,2,?,n.

n2??1??1?1???所以fn?x1??fn?x2???fn?xn??2x??x2?????x????????, 1nn?1?nnn????????n2?1?即fn?x1??fn?x2???fn?xn??2x?x???x??n??0. ?12nn?1?n?故fn?x1??fn?x2???fn?xn??0. 【点评】

本小题主要考察二次函数、导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等， 考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等。 21、（1）选修4-2：矩阵与变换

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?2?222已知曲线C：x?xy?y?3，矩阵M???2???2（Ⅰ）求曲线C'的方程；

（Ⅱ）求曲线C的离心率及焦点坐标。 【解析】

2??2?，且曲线C在矩阵M对应的变换的作用下得到曲线C'。 2??2?解法一：（I）设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P'(x',y')，则

?2??2?2???2??x??所以??y????2?22x'?x?y??2??x??x'?，即?22 ??????yy'?2?????y'??2x?2y??2??222x'?22x'?222y'2① 2y'22x'2y'2??1 把①代入x?xy?y?3，整理的62x2y2??1 所以曲线C'的方程为62x2y26??1，离心率为（II）曲线C'的方程为，焦点为F‘1'(?2,0)，F2(2,0) 623?2?2因为M???2???2??-1所以M?????2222-2??2?对应的变换是顺时针旋转?的旋转变换，

42??2?2??2?对应的变换是逆时针旋转?的旋转变换，

42??2?所以曲线C的离心率为?6，且C的焦点是由C'的焦点逆时针旋转得到，

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??由????2222?22????2???2???2?，?2??????0?2????2???2??2??22???2??2??2?，

??????0?2???2???2?所以曲线C的焦点为(?2,?2)，(2,2)

解法二：（I）设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P'(x',y')

则M?????x??x'??

?y??y'??x??1?x'?所以???M?? ?y??y'???-1因为M???????x??即??y???2222-?2???2?，所以?x??????2?y?????2?2222-2??2??x'?

???2?y'??2?2x'?22x'?222y'2① 2y'22x'2y'2??1 把①代入x?xy?y?3，整理的62x2y2??1 所以曲线C'的方程为62x2y26??1，离心率为（II）曲线C'的方程为，焦点为F‘1'(?2,0)，F2(2,0) 623?2?2因为M???2???22??2?对应的变换是顺时针旋转?的旋转变换，

42??2?6 3所以曲线C的离心率为

且曲线C焦点F1(x1,y1)，F2(x2,y2)经过M对应的变换作用后对应的点分别为F1'(x1',y1')，F2'(x2',y2')

??x1??2??x2?2由①知：?，? ??y1??2??y2?219

所以曲线C的焦点为(?2,?2)，(2,2)

【点评】本小题主要考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。

（2）选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(?1,2)。在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点

O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为?cos???sin??1?0。

（Ⅰ）判断点M与直线l的位置关系；

（Ⅱ）设直线l与抛物线y?x2相交于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积。 【解析】（I）由已知得直线l的直角坐标方程为：x?y?1?0 因为?1?2?1?0

所以点M(?1,2)在直线l:x?y?1?0上

（II）由（I）知，直线l的斜率为?1，所以直线l的倾斜角为又因为直线l过点M(?1,2)

3? 43?x??1?tcos???4故可设直线l的参数方程为：?（t为参数）

3?y?2?tsin???4?2t?x??1??2代入y?x2，得t2?2t?2?0 把??y?2?2t??2设点A，B所对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理得t1t2??2 所以MA?MB?t1?t2?t1t2?2

【点评】本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想。

（3）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?1。

（Ⅰ）若f(x)?f(x?6)?m?m对任意x?R恒成立，求实数m的取值范围；

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2（Ⅱ）当?1?x?4，求【解析】

f(x)?f(2x?9)的最大值。

（I）因为f(x)?f(x?6)?x?1?x?5?x?1?(x?5)?6 且f(x)?f(x?6)?m2?m对任意x?R恒成立， 所以m?m?6对任意x?R恒成立， 解得m?(?2,3) （II）因为?1?x?4，则2f(x)?f(2x?9)?x?1?2x?8?x?1?8?2x①

① 套用柯西不等式得：

?x?1?8?2x???2x?1?2?4?x?2??x?1?4?x??1?2??15

所以所求最大值为15 【点评】本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考推理论证能力，考查化归与转化思想。

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