2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学（理科）[解析版](3)

18、“抢红包”的网络游戏给2015年的春光增添了一份趣味，“抢红包”有多种玩法，小明参加了一种接龙红包游戏；小明在红包里装了9元现金，然后发给小朋友A，并给出金额所在区间?1,9?，让Ａ猜（所猜金额为整数元；下同），如果A猜中，A将获得红包里的金额；如果A未猜中，A要将当前的红包转发给朋友B，同时给出金额所在区间?6,9?，让B猜，如果B猜中，A和B可以平分红包里的金额；如果B未猜中，B要将当前的红包转发给朋友C，同时给出金额所在区间?8,9?，让C猜，如果C猜中，A、B和C可以平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的资金将退回至小明的账户； （Ⅰ）求A恰得到三元的概率；

（Ⅱ）设A所获得的金额为X元，求X的分布列以及数学期望；

（Ⅲ）从统计学的角度而言，A所获得的金额是否超过B和C两个人所获得的金额之和？并说明理由； 【解析】

（Ⅰ）A恰好得到3元，意味着A、B未猜中而且C猜中 P｛A恰得3元｝=??8311?

94234.5 （Ⅱ）A所得金额X的分布列

A所得金额X 0 3 9 相应的概率P 1121 3399X的数学期望E（X）=

1121×0+×3+×4.5+×9=3 3399（1） 记B、C所得金额之和为变量Y，则X、Y的联合分布列为

Y X 9 4.5 3 0 0 1 90 0 0 1 30 4.5 2 90 0 6 0 1 30 151，P{X=Y}=，P{X

39P{X>Y}=

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无论从概率还是所得金额的期望来比较，A的收入都依概率小于B、C的收入之和。 【点评】（Ⅰ）考查单一事件的概率，注意事件发展过程的前后关联和各步骤的概率大小

（Ⅱ）考查离散变量的分布列和期望值的计算，关键点在于变量的取值要全面，计算每一个事件的概率不能出错，分布列中的概率是可以检验的。

（Ⅲ）考查两个变量的联合分布，联合分布综合了两个变量的所有取值和相应概率，包含所有的单个事件，记住不要遗漏，并注意两个变量取值的关联性。

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x2y219、已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角

ab形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1。 （Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）如图，直线l与椭圆E有且只有一个公共点M，且交y轴于点P，过点M作垂直于l的直线交于y轴于点

Q。求证： F1,Q,F2,M,P五点共圆。

【解析】法一：（Ⅰ）如图，因为?AF1F2是等边三角形，所以a?2c

又因为椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，?a?c?1得a?2,c?1，从而b?3 x2y2??1 故椭圆的方程为43（Ⅱ）依题意，直线l的斜率必存在且不为0.设直线l的方程为y?kx?m

?x2y2?1??222联立?4得?4k?3?x?8kmx?4m?12?0. 3?y?kx?m?222222令??0，得64mk?164k?3m?3?0，化简得：m?4k?3?0

????4k4km??x??x????1?1?4k3?m4k2?3?设切点M?x1,y1?.则?即??M??,?.

?mm??y?3?y?3m11??m4k2?3??又因为直线MQ?PM,所以直线MQ的方程为y?31?4k????x?? mk?m??31?4k?1??y????x???由?mk?m?得Q?0,??.

m???x?0?又由??y?kx?m得P?0,m?.

?x?01??1??,PF??1,?m,PF??1,??11??? mm????由（Ⅰ）知，F,0),F2(1,0).?PF2??1,?m?,?PF2??1,1(?113

所以PF2?QF2?1???m??11?0,PF1?QF1?1???m???0. mmPF2?QF2,PF2?QF1又PM?QM所以点F1,Q,F2,M,P都在以PQ为直径的圆上.

故F1,Q,F2,M,P五点共圆. 法二： （Ⅰ）同法一

（Ⅱ）依题意，直线l的斜率必存在且不为0.设直线l的方程为y?kx?m

?x2y2?1??222联立?4得?4k?3?x?8kmx?4m?12?0. 3?y?kx?m?222222令??0，得64mk?164k?3m?3?0，化简得：m?4k?3?0

????4k4km??x??x????1?1?4k3?m4k2?3?设切点M?x1,y1?.则?即??M??,?.

?mm??y?3?y?3m11??m4k2?3??又由??y?kx?m得P?0,m?.

?x?0?2km2?3?设PM的中点为N，则点N的坐标为??,?.

m2m??m2?31?2k?故PM的垂直平分线l1的方程为y????x??.

2mk?m?设l1与y轴于H,|HF1|?|HF2|.|HP|?|HQ|. 又因为PM?MQ,所以H为PQ中点，故|HP|?|HQ|

?m2?31?2k?y???x??m2?1????由?2mk?m?得H?0,?.

2m???x?0??m2?1?m?1m?1m2?12.由（Ⅰ）知F2?1,0?,所以|HF2|?1??. |HP|?|m?|???2m2|m|2|m|?2m?故|HF1|?|HF2|?|HP|?|HM|?|HQ|,故F1,Q,F2,M,P五点共圆.

【点评】本题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查推理论证能

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222力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想。本题和14年全国卷理科四点共圆问题考法相近。

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