统计学原理-计算公式

位值平均数计算公式

1、众数：是一组数据中出现次数最多的变量值

组距式分组下限公式：

M0?Lm0?1??dm0 ?1??2Lm0：代表众数组下限； ?1?fm0?fm0?1：代表众数组频数—众数组前一组频数 dm0：代表组距； ?2?fm0?fm0?1：代表众数组频数—众数组后一组频数

2、中位数：是一组数据按顺序排序后，处于中间位置上的变量值。

?f?Sme?12M?L??dmen?1eme中位数位置? 分组向上累计公式： fme2Lme代表中位数组下限；

Sme?1：代表中位数所在组之前各组的累计频数；

fme代表中位数组频数； dme代表组距

3、四分位数：也称四分位点，它是通过三个点将全部数据等分为四部分，其中每部分包含

25%，处在25%和75%分位点上的数值就是四分位数。

其公式为：Q1?n?1n?13(n?1)Q?Q? 2 （中位数） 3

424实例

数据总量: 7, 15, 36, 39, 40, 41 一共6项 Q1 的位置=（6+1）/4=1.75 Q2 的位置=（6+1）/2=3.5 Q3的位置=3（6+1）/4=5.25 Q1 = 7+（15-7）×（1.75-1）=13， Q2 = 36+（39-36）×（3.5-3）=37.5，

Q3 = 40+（41-40）×（5.25-5）=40.25

数值平均数计算公式

1、简单算术平均数：是将总体单位的某一数量标志值之和除以总体单位。

x1?x2???xn?xX??其公式为：

nn

2、加权算术平均数：受各组组中值及各组变量值出现的频数（即权数f）大小的影响，

1

x1f1?x2f2???xifi?xfX??其公式为：f1?f2???fi?f3、加权算术平均数的频率：

f1f2fnfX?X1?X2????X??X?其公式为：

?f?f?f?f

4、调和平均数：由于只掌握每组某个标志的数值总和（M）而缺少总体单位数（f）的资料，

不能直接采用加权算术平均数法计算平均数，则应采用加权调和平均数。

?mH?m其公式为：

?x

5、简单几何平均数：就是n个变量值（Xn）连乘积的n次方根：

nX?X?X??X?n?XG?其公式为：123n

6、加权几何平均数：如果变量值较多，其出现的次数不同，则应采用加权几何平均数， 其公式为：

G?f1?f2???fnX1?X2??Xnf1f2fn??f?Xf

标志变异绝对指标及成数计算公式

一、标志变异绝对指标：

1、异众比率（又称离异比率或变差比，它是指非众数组的频数占总频数的比率）：

?fi?fmfmVr??1?公式即，?fi?fi公式即：R

2、极差（也称全距，它是一组数据的最大值与最小值这差

?Xmax?Xmin

3、平均差（总体各单位标志值对算数平均数的绝对离差的算术平均数，平均差是反映各标志值对平均数的平均距离，平均差越大，说明总体各标志值越分散，平均差越小，说明各标志值越集中），

公式即为：（未分组情况）A.D??x?xn （分组情况）：A.D??x?x·f?f

4、方差和标准差：

方差（是各变量值与其均值离差平方的平均数），

2?(x?x)2??公式即为：（未分组情况）

n2?(x?x)·f2?? （分组情况）：

?f

标准差（方差的平方根），

2

?(x?x)2公式即为：（未分组情况）??n?(x?x)2·f?? （分组情况）：

?f

方差的数学性质：变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方。 方差的简便算法：方差=平方的平均数-平均数的平方

?x2??x?? 平方的平均数表示为： 平均数的平方表示为：?n?n?222??x?(x)方差简便算法的公式即为：

2二、是非标志的平均数、方差、标准差：

是非标志：将总体分成具有某种性质和不具有某种性质的两部分，我们所关心的标志表

现称为“是”，另一标志标现称为“非”。例如：产品分为合格与不合格品。

成数：总体中，是非标志只有两种表现，我们把具有某种表现和不具有某种表现的单位

占全部总体单位的比重称为成数。具有某种性质的成数用（p）表示，不具有某种性质的用（q）表示。p+q=1。[成数的平均数（均值）就是成数本身]

成数方差：?2?p(1?p) 成数标准差：??p(1?p

抽样平均误差、极限误差计算公式

1、抽样平均误差：反映所有的样本平均数与总体平均数的平均误差，用平均数公式：

?x表示。

?(x??)2????重置抽样公式为：x

Mn其中?表示总体标准差，n表示样本容量，M为样本个数。

?(x??)2?N?n?·不重抽样公式为：?x? 其中N为总体单位数。

MnN?1成数公式：

重置抽样公式为：?P? 不重置抽样公式为：?PP(1?P)n?

P(1?P)N?n? nN?12、极限误差：样本统计量与被估计的总体参数的离差的绝对值所容许的最大值，又称边际误

差，用

z??来表示。x?X??x p?P??p

??x，用文字表述为：概度率=抽样极限误差÷抽样平均误差。

概率保证程度用F?z?表示，又叫置信度或置信水平，它是z的函数。

3

3、计算题步骤： 第一套：F?z?求?

1、抽样 计算 x?区间估计 S?x???x 2、根据：F?z? 查表 3、计算：?第二套：?求F?z?

1、抽样 计算 x?区间估计 S?x???x 2、根据：z??z

?x 查表 F?z?

?z??x，写出x：?x??，x???

3、由x和?，写出?x??，x??? 第二套：?求F?z?

1、抽样 计算 P?区间估计 S?x???p 2、根据：z??P4、成数计算步骤： 第一套：F?z?求?

1、抽样 计算 P?区间估计 S?x???p 2、根据：F?z? 查表 3、计算：?p

z

??P）

?P 查表 F?z?

?z??p写出（P??p，P3、由P和?p，写出（P??p，P??P）

样本容量、相关系数、估计标准误差

一、样本容量的确定

z2?2Nz2?21、平均数：重复抽样下样本容量n?；不重复抽样下样本容量n?222 ?2(N?1)??z?2、成数：重复抽样下样本容量n?z2?p(1?p)?p2；

不重复抽样下样本容量n?Nz2?p(1?p)(N?1)?p?z2?p(1?p)2

二、相关系数：在线性条件下说明两个变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。 公式1：r??(x?x)(y?y)?(x?x)??(y?y)222??(x?x)(y?y)?(x?x)??(y?y)222

公式2：r?n?xy??x??yn?x2???x??n?y2???y? 公式3：r?xy?x?y

?x??y三、一元线性回归分析：只涉及一个自变量时称为一元回归。 1、估计回归方程可表示为：

y?b0?b1x，

4

其中b0是估计的回归直线在y轴上的截距，是当x=0时的期望值；b1是直线的斜率，称为

回归系数，表示当x每变动一个单位时y的值平均变动。 2、最小二乘法（残差平方和最小）

n?xy?(?x)(?y)b1?22 b0?y?b1x

n?x?(?x)?(x?x)(y?y)n?xy??x??y?y?xb1???b1222 b0??(x?x)n?x?(?x)nn

三、回归直线的似合程度

1、判定系数（可决系数）：等于相关系数的平方。

22n?x?(?x)2r2?b1?n?y2?(?y)2

2、估计标准误差：

实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 从另一个角度说明了回归直线的拟合程度

?)2?y2?b0?y?b1?xy?(y?y?计算公式为Sy?

n?2n?2四、利用回归方程式进行估计

1、点估计：对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值

根据回归方程：

y?b0?b1x得出y的估计值。

时间序列的分析指标

1、绝对数时间序列的计算：（用算术平均数计算） ①、时期序列的序时平均数：y②、时点序列的序时平均数： 连续时点：连续每天资料不同： 持续天内资料不变：

?y1?y2???yn??y/n

y??y/n y??yt/?t

间断时点：间隔时间相等序时平均数的计算(首末折半)：

11y1?y2????yn?1?yn2y?2n?1

间断时点：间隔不相等序时平均数的计算：

5

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