(典型题)2014高考数学二轮复习 知识点总结 平面向量(2)

＝a2

＋b2

＋c2

＋2a²b－2a²c－2b²c ＝3－2(a²c＋b²c)≤1， ∴|a＋b－c|≤1.

方法二 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，

则x2

＋y2

＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，则(a－c)²(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y) ＝x2

＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.

又a＋b－c＝(1－x,1－y)， ∴|a＋b－c|＝x－12

1－x＋1－y

＋y－12

＝3－2x＋y≤1.

涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：

①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．

(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．

求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．

→→→→→→

(1)(2013²山东)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋→

AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．

→→→→→→→→1

(2)(2013²重庆)在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则

2→

|OA|的取值范围是

( )

→→

A. 0C.

5 2

B. D.

7 5

， 2 2

5

，2 2 7

，2 2

7

答案 (1) (2)D

12

→→→→

解析 (1)由AP⊥BC知AP²BC＝0， →→→→→→即AP²BC＝(λAB＋AC)²(AC－AB) →→→2→2

＝(λ－1)AB²AC－λAB＋AC

1＝(λ－1)³3³2³ －－λ³9＋4＝0， 2

7

解得λ＝.

12→→(2)∵AB1⊥AB2，

→→→→→→∴AB1²AB2＝(OB1－OA)²(OB2－OA) →→→→→→→2

＝OB1²OB2－OB1²OA－OA²OB2＋OA＝0， →→→→→→→2∴OB1²OB2－OB1²OA－OA²OB2＝－OA.

→→→∵AP＝AB1＋AB2.

→→→→→→∴OP－OA＝OB1－OA＋OB2－OA， →→→→∴OP＝OB1＋OB2－OA. →→

∵|OB1|＝|OB2|＝1，

→2→2→→→→→→∴OP＝1＋1＋OA＋2(OB1²OB2－OB1²OA－OB2²OA) →2→2→2

＝2＋OA＋2(－OA)＝2－OA，

→1→21→21∵|OP|<OP|<，∴0≤2－OA<

2447→2 7 →

∴<OA≤2，即|OA|∈ 2 . 4 2 考点三 平面向量与三角函数的综合应用

例3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x

＋2cos α)，其中0<α<x<π. (1)若α＝

π

，求函数f(x)＝b²c的最小值及相应x的值； 4

π

(2)若a与b的夹角为，且a

⊥c，求tan 2α的值．

3

应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角

函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值．

(2)由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果． 解 (1)∵b＝(cos x，sin x)，

c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α

∴f(x)＝b²c

＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α ＝2sin xcos x＋2(sin x＋cos x)． 令t＝sin x＋cos x

2

π4

π<x<π ，

4

则2sin xcos x＝t－1，且－1<t2. 则y＝t＋2t－1＝ t∴t＝－

2

2 23

－，－1<t2， 2 2

232时，ymin＝－sin x＋cos x＝－， 222

2 π即2sin x＋＝－

4 2 πππ5

∵<x<πx＋<π， 4244π711π∴xπ，∴x＝4612

311π∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为212π

(2)∵a与b的夹角为，

3

πa²b∴cos cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．

3|a|²|b|π

∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α3

∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0， π ∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin 2α＋＋2sin 2α＝0. 3 533

∴sin 2α＋α＝0，∴tan 2α＝－. 225

在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函

数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解

决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．

3 a＝ sin x，，b＝(cos x，－1)．

4

(1)当a∥b时，求cosx－sin 2x的值；

(2)设函数f(x)＝2(a＋b)²b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，b＝2，sin B＝

6ππ

，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围． 363

2

33

解 (1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x44cosx－2sin xcos x1－2tan x8

∴cosx－sin 2x＝＝. 222

sinx＋cosx1＋tanx5

2

2

π 3 (2)f(x)＝2(a＋b)²b2sin 2x＋ ＋

4 2 由正弦定理

b2π

sin A，∴Asin Asin B24

a

π π 1 ∴f(x)＋4cos 2A＋ ＝2sin 2x＋ － 6 4 2 πππ11π

∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，．

34412∴

3π1f(x)＋4cos(2A＋)≤2262

1． 当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表

→→→示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量AB＝OB－OA (其中O为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．

2． 根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条

对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直．

3． 两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角

可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．

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