(典型题)2014高考数学二轮复习 知识点总结 平面向量

平面向量

从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题以选择、填空形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．

1． 平面向量中的五个基本概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2． 平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

3． 平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b a²b＝0 x1x2＋y1y2＝0. 4． 平面向量的三个性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a²a＝x＋y. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 →

|AB|2

2

a

x2－x1＋y2－y1.

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

a²bx1x2＋y1y2

则cos θ＝2222.

|a||b|x1＋y1x2＋y2

考点一 平面向量的概念及线性运算

12→

例1 (1)(2013²江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝

23

→→

λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

→→→→→→→

(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0且|OA|＝|AB|，则向量CA在CB上的投影为

( )

A.3 B．3 C3 D．－3 1

答案 (1) (2)A

2

→→→1→2→1→2→→

解析 (1)如图，DE＝DB＋BE＝AB＝AB＋AC－AB)

23231→2→121

＋AC，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝63632→→→

(2)由OA＋AB＋AC＝0， →→→得AB＋AC＝AO.

又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC， ∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC. →→

由|OA|＝|AB|＝2， 知△AOC为等边三角形．

π→→→

故CA在CB上的投影为|CA|cos∠ACB＝2cos ＝

3.

6

在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于

代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．

(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合．

→→→→→→

已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成

立，则m的值为 A．2

( )

B．3 C．4 D．5

→→→→→

(2)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°， →

OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝3，若OC＝λOA＋μOB

(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 答案 (1)B (2)6

→→→

解析 (1)∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心． →→→

∴AB＋AC＝3AM，∴m＝

3.

→→→→→→→

→→→→→→

(2)方法一 如图，OC＝OB1＋OA1，|OB1|＝2，|OA1|＝|B1C|＝4， →→→∴OC＝4OA＋2OB. ∴λ＋μ＝6.

→→→→→2→→

方法二 由OC＝λOA＋μOB，两边同乘OC，得OC＝λOA²OC＋0，∴λ＝4. →→→→∴OC＝4OA＋μOB，两边同乘OA， →→→→得OC²OA＝4＋μOA²OB， 1

即3＝4＋()μ.∴μ＝2.

2∴λ＋μ＝6.

方法三 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，

则A(1,0)，C3cos 30°，3sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)． 13

即A(1,0)，C(3，3)，B(－，)．

221

λ－＝3， 2→→→

由OC＝λOA＋μOB得，

3 2＝3.

μ＝2

∴ λ＝4

→

.∴λ＋μ＝6.

考点二 平面向量的数量积

例2 (1)(2012²江苏)如图，在矩形ABCD中，AB2，BC＝2，点E为

BC的中点，点F在边CD上，若AB²AF＝2，则AE²BF的值是

________．

(2)若a，b，c均为单位向量，且a²b＝0，(a－c)²(b－c)≤0，则|a＋b

－c|的最大值为 A.2－1 C.2

( )

→→→

B．1 D．2

答案 (1)2 (2)B 解析 (1)方法一 坐标法．

以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则

A(0,0)，B

(

2，0)，E2，1)，F(x,2)．

故→AB＝(2，0)，→AF＝(x,2)，→

AE＝(2，1)， →

BF＝(x－2，2)，

∴→AB²→

AF＝(2，0)²(x,2)＝2x. 又→AB²→

AF＝2，∴x＝1. ∴→

BF＝(1－2，2)．

∴→AE²→

BF＝(2，1)²(1－2，2)＝2－2＋22. 方法二 用→AB，→BC表示→AE，→

BF是关键． 设→DF＝xAB→，则→CF＝(x－1)→AB.

→

AB²AF→＝AB→²(AD→＋DF→

)

＝→AB²(→AD＋xAB→)＝xAB→2

＝2x， 又∵→AB²→

AF2，∴2x＝2， ∴x22.∴→BF＝→BC＋→CF＝→BC＋ 2 21 →

AB. ∴→AE²→BF＝(→AB＋→BE)² → BC＋ 2 → 2－1 AB

＝ → AB＋1→2 → BC＋ 2 21 → AB

＝ 2 2－1 →

AB21→22

＝

2 2－1

1

³2＋22.

(2)方法一 由题意知a2

＝b2

＝c2

＝1， 又a²b＝0，

∵(a－c)²(b－c)＝a²b－a²c－b²c＋c2

≤0， ∴a²c＋b²c≥c2

＝1，

∴|a＋b－c|2

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