2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第13讲 直线与圆的方程(3)

y??10323或y?(y?23)。 39解法二：以AB为直径的圆的方程为（x－

5228）+（y+3）2=（）2。

333圆心（

528,?3）到直线l：x=－1的距离为， 33323）。 3所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角。 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角。 过点A且与AB垂直的直线方程为y?2331?(x?)。 333令x=－1得y=23。 93?3（x－3）。 3过点B且与AB垂直的直线方程为y+2令x=－1得y=－103。 3?y??3(x?1),又由?解得y=23， ?x??1.所以，当点C的坐标为（－1，23）时，A、B、C三点共线，不构成三角形。

10323或y>39因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<－

（y≠2

3）。

点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了―注重学科

知识的内在联系‖.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。 题型4：圆的方程

例7．（1）已知△ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），

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求△ABC外接圆的方程。

分析：如果设圆的标准方程(x?a)?(y?b)?r，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到△ABC外接圆的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。

解法一：设所求圆的方程是(x?a)?(y?b)?r 因为A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①，于是

222222①

?(4?a)2?(1?b)2?r2,?a?1,??222?(6?a)?(?3?b)?r, 可解得?b??3,

?r2?25.?(?3?a)2?(0?b)2?r2.??所以△ABC的外接圆的方程是(x?1)?(y?3)?25。

解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、BC的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。 22?3?10?(?3)1??2，kBC???，线段AB的中点为（5，－1），线段BC6?4?3?6333的中点为(,?)， 22∵kAB?∴AB

的垂直平分线方程为① yOAxEB1y?1?(x?5)， 2BC的垂直平分线方程y?33?3(x?) 22C② ?x?1,解由①②联立的方程组可得? y??3.?∴△ABC外接圆的圆心为Ｅ（1，－3）， 半径r?|AE|?

图4－1 (4?1)?(1?3)?5。 2222故△ABC外接圆的方程是(x?1)?(y?3)?25．

点评：解法一用的是―待定系数法‖，解法二利用了圆的几何性质。

（2）求过A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：细心的同学已经发现，本题与上节例1是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程．现在再尝试用圆的一般方程求解（解法三），可以比较一下哪种方法简捷。

解析：设圆的方程为x?y?Dx?Ey?F?0

22①

因为三点A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解，将它们的坐标分别代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组：

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?42?12?4D?E?F?0?D??2?? ?62?(?3)2?6D?3E?F?0，解得?E?6。

?F??15?(?3)2?02?3D?0?E?F?0??所以，圆的方程是x?y?2x?6y?15?0。 圆心是坐标（1，－3），半径为r?221D2?E2?4F?5。 2点评：―待定系数法‖是求圆的方程的常用方法．一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些。

例8．若方程x?y?2(m?3)x?2(1?4m)y?16m?9?0。 （1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。 （2）当m在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。

解析：（1）由x?y?2(m?3)x?2(1?4m)y?16m?9?0，

?当且仅当1?6m?7m?0时， 即?m|?222242224，

??1??m?1?时，给定的方程表示一个圆。 7??x?m?32?y?4m?1 （2）设圆心坐标为(x，y)，则?2(?1?m?1)（m为参数）。 7消去参数m?y?4(3?x)?1，?y?4(x?3)2?1迹方程。

(20?x?4)为所求圆心轨7DE,?)，半径22点评：圆的一般方程x?y?Dx?Ey?F?0，圆心为点(?22r?D2?E2?4F22，其中D?E?4F?0。

2题型5：圆的综合问题

例9．如图2，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A（0，a），B（0，b）（a?b?0），试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。

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解析：设C是x轴正半轴上一点，在△ABC中由正弦定理，有 sinACB?a?b。 2R 其中R是△ABC的外接圆的半径。 可见，当R取得最小值时，∠ACB取得最大值。 在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。

由切割线定理，得：OC?OA·OB?ab 所以 OC?2ab，即点C的坐标为

?ab，0时，∠ACB取得最大值。

?点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。 例10．已知⊙O′过定点A(0，p)(p>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′截x轴所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ。 （1）当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论； （2）求值的θ值。

解析：设O′(x0，y0)，则x02=2py0 (y0≥0)，⊙O′的半径|O′A|=

2x0?(y0?p)2，⊙O′的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0

d1d2+的最大值，并求取得最大d2d1代入得x2－2x0x+x02－p2=0，解得xM=x0 – p，xN=x0+p，∴|MN|=| xN – xM|=2p为定值。

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