【课 题】双曲线的简单几何性质(4)
【教学目标】
1、要求掌握双曲线系方程与共轭双曲线的概念及简单的应用；
2、理解并掌握双曲线的渐近线方程的简单性质及应用。
【教学重点】
【教学难点】
【教学过程】
一、 复习引入
1、复习双曲线的性质：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，离心率等；
2、复习双曲的第二定义；
二、 讲解新课
bkbx x(k 0)，那么此双曲线方程就一aka1、共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为y x2y2x2y2
定是： 1(k 0)或写成2 2 。 22ab(ka)(kb)
2、共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。
共用一对渐近线；双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。
三、 例题讲解
y2x2
【例1】 (1)求与双曲线 1有公共渐近线,且经过点P( 2, 5)的双曲线方程 1004
(2)已知双曲线的渐近线方程为y 2x,实轴长为12,求它的方程. 3
1y2x2
解：(1)设所求双曲线方程为 ( 0),把( 2, 5)代入方程,得 , 41004
y2
故所求的双曲线方程为x 1 252
x2y2
(2)设所求双曲线方程为 ( 0) 94
x2y2
①若焦点在x轴上,则(6,0)在双曲线上,可得 4,∴方程为 1 3616
y2x2
1. ⑵若焦点在y轴上,则(0,6)在双曲线上,可得 9,∴方程为3681
【例2】 已知双曲线的共轭双曲线的离心率为2，求原双曲线的离心率。 x2y2y2x2
解：设原双曲线为2 2 1，则它的共轭双曲线的方程为：2 2 1，
abba
c所以e' 2
b
所以c 2b,a
故所求的双曲线的离心率为：e c ax2y2
【例3】 经过双曲线 1的右焦点F的直线l与一条渐近线l1垂直于A，交另816
一条渐近线l2于B，求证：线段AB被双曲线的左准线平分。 解： F(26，0)，l l1 l：y 2(x 26)， 2
x2y2
代入渐近线方程（注意渐近线方程的写法） 0；816
得3x2 4x 24 0.设AB中点的坐标为(x0，y0),
则x0=1226(xA＋xB)＝－. 左准线方程为x=－6， AB被左准线平分。 323
x
2
a2 y2
b2 1的离心率e 【例4】 已知双曲线x 2，直线l与2
双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，四个点的顺序如图所示。
（1）求该双曲线的方程；（2）求证：|AB|=|CD|；
（3）如果|AB|=|BC|=|CD|，求证：△OBC的面积为定值。
ca22解：（1）由已知 , ac2
∴ a 1,c 2
2∴所求双曲线的方程为x－y2=1。
（2）设l：x=my+b，（m≠±1）
由
由 y xbb 得A(,). x my b1 m1 m y xbb 得D(, ). x my b1 m1 m
bbm∴AD中点坐标为(,). 221 m1 m
x2 y2 122由 得（m－1）y2+2mby+b－1=0 x my b
∴y1 y2 2mb
1 m2
bbm∴BC中点坐标为(,). 221 m1 m
∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，
∴|AB|=|CD|
（3）设A a,a ,B b, b ，a＞0，b＞0
∵|AB|=|BC|=|CD| ∴xc
即 C(a 2b1a 2b1 (a 2b),yc (a 2b) 1 231 23a 2ba 2b,). 33
a 2b2a 2b2) (). 1 33∴点C在双曲线上 (
∴ ab 9 8
1
3又 S OBC S OAD 11113|OA| |OD| 2a b ab 32638
∴△OBC的面积为定值。
【类似题】已知直线l和双曲线交于A、B两点，和双曲线的渐近线交于C、D两点。 求证：|AC|=|BD|
证明：若直线l平行于坐标轴，则根据图形的对称性，|AC|=|BD|显然成立.
一般情况下，设l的方程为y=kx+m(k≠
为b2x－a2y2=0. 22b2a2)，双曲线方程为b2x－a2y2=a2b2,渐近线方程2
y kx m由 22得 2222 bx ay ab
(b－a2k2)x－2a2kmx－a2m－a2b2
=0 222
∴x1+x2=2a2km
b2 a2k2
2a2km
b ak222∴AB中点M的横坐标xM=
y kx m由 22得 22 bx ay 0
（b－a2k2）x－2a2kmx－a2m2=0 22
∴x3+x4=2a2km
b ak222
a2km
b2 a2k2∴CD中点M′的横坐标xM′=
∴xM=xM′
∵M和M′在同一条直线上 ∴M和M′重合
∴|AC|=|BD|
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