1995年考研数学三真题及全面解析

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

1?x,则f(n)(x)? . 1?xy?(2) 设z?xyf(),f(u)可导,则xz?x?yzy? .

x(1) 设f(x)?(3) 设f?(lnx)?1?x,则f(x)? .

?100????

(4) 设A??220?,A是A的伴随矩阵,则(A?)?1? . ?345???(5) 设X1,X2,,Xn是来自正态总体N(?,?2)的简单随机样本,其中参数?和?2未知,

n1n22记X??Xi,Q??(Xi?X),则假设H0:??0的t检验使用统计量t?_____. ni?1i?1

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设f(x)为可导函数,且满足条件limx?0f(1)?f(1?x)??1,则曲线y?f(x)在点

2x(1,f(1))处的切线斜率为 ( )

(A) 2 (B) ?1 (C)

1 (D) ?2 2(2) 下列广义积分发散的是 ( )

(A)

111dx (B) ??1sinx??11?x2dx 1 (C)

???0e?xdx (D) ?2??21dx 2xlnx(3) 设矩阵Am?n的秩为r(A)?m?n,Em为m阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )

(A) A的任意m个行向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零 (C) 若矩阵B满足BA?0,则B?0

(D) A通过初等行变换,必可以化为(Em,0)的形式

(4) 设随机变量X和Y独立同分布,记U?X?Y,V?X?Y,则随机变量U与V必然

( )

(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 (5) 设随即变量X服从正态分布N(?,?2),则随?的增大,概率PX???? ( )

(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定

三、(本题满分6分)

???2?x2(1?cosx),x?0?1,x?0,试讨论f(x)在x?0处的连续性和可导性. 设f(x)???1x??cost2dt,x?0?x0

四、(本题满分6分)

已知连续函数f(x)满足条件f(x)?

五、(本题满分6分)

将函数y?ln(1?x?2x2)展成x的幂级数,并指出其收敛区间.

六、(本题满分5分)

计算

?3x0?t?f??dt?e2x,求f(x). ?3???????????min{x,y}e?(x2?y2)dxdy.

七、(本题满分6分)

设某产品的需求函数为Q?Q(p),收益函数为R?pQ,其中p为产品价格,Q为需求量(产品的产量),Q(p)为单调减函数.如果当价格为p0,对应产量为Q0时,边际收益

dRdR?a?0,收益对价格的边际效应

dQQ?Q0dp求p0和Q0.

八、(本题满分6分)

?c?0,需求对价格的弹性Ep?b?1.

p?p0设f(x)、g(x)在区间[?a,a](a?0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件

f(x)?f(?x)?A(A为常数).

(1) 证明

?a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx；

0a

?(2) 利用(1)的结论计算定积分九、(本题满分9分)

??sinxarctanedx.

2?2x已知向量组(Ⅰ)?1,?2,?3；(Ⅱ)?1,?2,?3,?4；(Ⅲ)?1,?2,?3,?5,如果各向量组的秩 分别为r(I)?r(II)?3,r(III)?4.

证明:向量组?1,?2,?3,?5??4的秩为4.

十、(本题满分10分)

22已知二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3.

(1) 写出二次型f的矩阵表达式；

(2) 用正交变换把二次型f化为标准形,并写出相应的正交矩阵.

十一、(本题满分8分)

假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试, 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了

n(n?2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：

(1) 全部能出厂的概率?；

(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率?； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率?.

十二、(本题满分8分)

已知随机变量X和Y的联合概率密度为

?4xy,0?x?1,0?y?1, f(x,y)??其他,?0,求X和Y联合分布函数F(x,y).

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

2(?1)nn!(1)【答案】 n?1(1?x)【解析】由于f(x)?1?x2??1?2(1?x)?1?1, 1?x1?xf?(x)?2?(?1)(1?x)?2, f??(x)?2?(?1)(?2)(1?x)?3,所以 f(n),

2(?1)nn!. ?n?1(1?x)(x)?2?(?1)n!(1?x)n?(n?1)(2)【答案】2xyf??y?? ?x?【解析】根据复合函数求导法则,

y?y??y?y?y2?y????z?f???, x?yf???xyf??????2??yf????x??x??x??x?x?x??y??y?1?y??y???z??xf?xyf??xf?yfy????????. ?x??x?x?x??x??所以 xz?x?yzy?xyf??y?2??y??y?2??y??y??yf?xyf?yf?2xyf?????????. xxxx?????????x?【相关知识点】复合函数求导法则：y??(f(x))的导数为y????(f(x))f?(x). (3)【答案】x?e?C

t【解析】在f?(lnx)?1?x中令lnx?t,则f?(t)?1?e,从而

xf(t)???1?et?dt?t?et?C?f(x)?x?ex?C.

?100?1??(4)【答案】?220?

10???345?【解析】由AA?AE,有

??1A?A. A?E,故?A???AA

100而 A?220?10,

345?100?A1????1??220?. 所以 ?A??A10???345?(5)【答案】Xn(n?1) Q【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先提出原假设H0,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设H0是否成立.

首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值?的假设检验问题.据此类型应该选取t检验的统计量是

t?X??0?SnX1(Xi?X)2?n(n?1)i?1n, 经过化简得 t?Xn(n?1). Q【相关知识点】假设检验的一般步骤： (1) 确定所要检验的基本假设H0；

(2) 选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布；

(3) 对确定的显著性水平?,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域；

(4) 由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设H0作出拒绝还是接受的判断.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)

【解析】因 f?(1)?limx?0f(1?x)?f(1)xx??xlimx?0f(1?x)?f(1)

?xf(1)?f(1?x)x?0x

f(1)?f(1?x)?2lim??2,x?02x?lim所以应选(D).

(2)【答案】(A)

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