2002年4月～2010年4月全国自考复变函数与积分变换试题试卷真题

第一部分 选择题 (共40分)

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有

一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.复数z=

168?i的辐角为（ ） 25251111 B.-arctan C.??arctan D. ??arctan 2222 A.arctan

2.方程Rez2=1所表示的平面曲线为（ ）

A.圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线 3.复数z=?3(cos???isin)的三角表示式为（ ） 5544 A.?3(cos??isin?)

55

44B.3(cos??isin?)

5544 C. 3(cos??isin?)

5544D.?3(cos??isin?)

554.设z=cosi，则（ ）

A.Imz=0 B.Rez=? C.|z|=0

D.argz=?

D.第四象限

?,k?0,?1,??? 45.复数e3+i所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 6.设w=Ln(1-i)，则Imw等于（ ） A.?? 4B.2k????,k?0,?1,??? C. 44 D.2k??7.函数w=z2把Z平面上的扇形区域：0

2?，0<|w|<4 32?，0<|w|<2 3?，0<|z|<2映射成W平面上的区域（ ） 3

B.0

?，0<|w|<4 3?，0<|w|<2 38.若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任

f(z)一点，n为正整数，则积分dz等于（ ）

C(z?a)n?12?i2?i(n)2?if(a) C.2?if(n)(a) f(a) A.D.f(n?1)(a) B.n!n!(n?1)!?9.设C为正向圆周|z+1|=2，n为正整数，则积分 A.1

B.2?i C.0

D.1 2?i?dz(z?i)n?1等于（ ）

C10.设C为正向圆周|z|=1，则积分 A.0

B.2?i C.2?

?dz等于（ ） C|z| D.?2?

11.设函数f(z)? A.zez+ez+1

?0?ez?d?，则f(z)等于（ ）

B.zez+ez-1 C.-zez+ez-1 D.zez-ez+1

1

12.设积分路线C是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则?z?1dz等于（ ）

Cz2 A.2??i B.2??i C.?2??i

D.?2??i

??13.幂级数

zn?1n?1n!的收敛区域为（ ） A.0<|z|<+? B.|z|<+? C.0<|z|<1

D.|z|<1

?sin(z??14.z=

3是函数f(z)=3)3z??的（ ） A.一阶极点 B.可去奇点 C.一阶零点

D.本性奇点

15.z=-1是函数cot?z(z?1)4的（ ） A.3阶极点 B.4阶极点 C.5阶极点 D.6阶极点

??16.幂级数(n?1)!zn的收敛半径为（ n?0(2n)! ） A.0

B.1 C.2 D.??

17.设Q(z)在点z=0处解析，f(z)=Q(z)z(z?1)，则Res[f(z),0]等于（ ）

A.Q(0)

B.-Q(0) C.Q?(0)

D.?Q?(0)

18.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.?(z3?2z?3)dz，其中C为正向圆周|z-1|=2

C B.?ezdz，其中C为正向圆周|z|=5 C.

C?zsinzdz，其中C为正向圆周|z|=1 C D.

?coszdz，其中C为正向圆周|z|=2 Cz?119.映射w=z2+2z在下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ） A.|z+1|>

1 B.|z+1|<

12 C.|z|>1 D.|z|<

122 2 20.下列映射中，把角形域0

z4?1 B.w=

z4?1z?iz4?iz4?1z4?1 C.w=z4?i D.w=

z4?i

21.复数z=4+48i的模|z|= . 22.设z=(1+i)100，则Imz= . 23.设z=e2+i，则argz= . 24.f(z)=z2的可导处为 . 25.方程lnz=

?3i的解为 . 26.设C为正向圆周|z|=1，则

?C(1z?z)dz? . 2

）127.设C为正向圆周|z-i|=，则积分

2?e?zz(z?i)2Cdz? .

28.设C为正向圆周|?|=2，f(z)=

??sinC??3d?，其中|z|<2，则f?(1)? . ??z29.幂级数

?nn?1n!nzn的收敛半径为 .

11130.函数f(z)=[1??????]在点z=0处的留数为 .

zz?1(z?1)5三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

31.求u=x2+2xy-y2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 32.计算积分I=

?Cz?zdz的值，其中C为正向圆周|z|=2. |z|33.试求函数f(z)=

?0ze??d?在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.

e?z234.计算积分I=

?C(z?i)2(z?3i)2dz的值，其中C为正向圆周|z-1|=3.

四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做

37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）。

??cosx35.利用留数求积分I=dx的值.

0x4?10x2?9?36.设Z平面上的区域为D：|z+i|>2，|z-i|<2，试求下列保角映射：

?3（1）w1=f1(z)把D映射成W1平面上的角形域D1：

44（2）w2=f2(w1)把D1映射成W2平面上的第一象限D2：00；

（4）w=f(z)把D映射成G. 37.积分变换

?； 2（1） （2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：?

?y???2y??y?1,

y(0)?0,y(0)??1.??第一部分 选择题 (共30分)

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

3

z1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ ）

A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2．下列等式中，对任意复数z都成立的等式是（ ） z=Re(z·z) B. z·z=Im(z·z) C. z·z=arg(z·z) z=|z| A.z·D. z·

??3．不等式??argz?所表示的区域为（ ）

44A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部 D.椭圆内部

1把Z平面上的单位圆周|z|=1变成W平面上的（ ） zA.不过原点的直线 B.双曲线 C.椭圆 D.单位圆周 5．下列函数中，不解析的函数是（ ） ．．．4．函数??A.w= B.w=z2 C.w=ez D.w=z+cosz

6．在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是（ ） ．．A.sinz是周期函数 B.sinz是解析函数C.|sinz|?1 D.(sinz)??cosz 7．在下列复数中，使得ez=2成立的是（ ） A.z=2

B.z=ln2+2?i C.z=2 D.z=ln2+?i

8．若f(z)在D内解析，?(z)为f(z)的一个原函数，则（ ） A.f?(z)??(z) B. f??(z)??(z) C. ??(z)?f(z) D. ???(z)?f(z) 9．设C为正向圆周|z|=1,则

?C(z?1?i)2dz等于（ ）

C.2?i

D.?i

1A.0 B.

1 2?i10．对于复数项级数

n?0??(3?4i)n6

n，以下命题正确的是（ ）

B.级数是绝对收敛的

D.级数的和不存在，也不为?

A.级数是条件收敛的 C.级数的和为?

?11．级数

n?0?(?i)n的和为（ ）

C.i

D.-i

A.0 B.不存在 12．对于幂级数，下列命题正确的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数条件收敛 C.在收敛圆周上，幂级数必处处收敛 sinz213．z=0是函数的（ ）

zA.本性奇点 B.极点C.连续点 D.可去奇点

B.在收敛圆内，幂级数绝对收敛

D.在收敛圆周上，幂级数必处处发散

114．sin在点z=0处的留数为（ ）

zA.-1 B.0 C.1 15．将点?，0，1分别映射成点0，1，?的分式线性映射是（ ）

D.2

4

zzA.w?zz1?z B. w? C. w? z?11?zzD. w?1 1?z第二部分 非选择题 （共70分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16．设z?2ei?4,则Rez=____________.

17.f(z)=(x2-y2-x)+i(2xy-y2)在复平面上可导的点集为_________. 18.设C为正向圆周|z-

?i|=1,则积分4?1dz?____________. Ccoszz2?119.函数f(z)?在奇点z=0附近的罗朗级数的收敛圆环域为_______.

z(z?1)20.

1(z?1)3在点z=1处的留数为____________.

三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21．设z?2?i,求z+和z-. 3?iz21?z222. 设f(z)??2cosz. (1)求f(z)的解析区域，（2）求f?(z).

23.设f(z)=x2-2xy-y2-i(x2-y2). 求出使f(z)可导的点, (2)求f(z)的解析区域. 24.设z=x+iy,L为从原点到1+i的直线段.求

?L(x?y?iy2)dz.

25.计算积分

?0(2z?3)dz.

?Cz(z?2)2dz.

ez3?i26.设C为正向圆周|z-1|=3,计算积分I=

27.将函数f(z)=

iz(z?i)2在圆环0<|z|<1内展开成罗朗级数.

28.将函数f(z)=ln(3-2z)在点z=0处展开为泰勒级数，并求其收敛半径.

四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题，需考《积分变换》者做31题，其他考生做30题，两题都做者按31题给分。每题10分，共20分） 29．利用留数定理计算积分I=

???(x2?a2)2(a?0).

?保角映射成W平面上的单位圆域2??x2dx30.试求一函数w=f(z),它将Z平面上的区域0

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