南通市2015届高三三模数学学科参考答案及评分建议(3)

x2t 1t 1

t，t＞1，则lnt ，故x1 ． x1tx1tlnt

t2 1

2( lnt)

t2 1于是，x1+x2 x1(t+1) ，x1+x2 2 ．

lnttlnt

x2 1

记函数g(x) lnx，x＞1．

2x

(x 1)2

)上单调递增． 因g (x) ＞0，故g(x)在(1，

2x2于是，t＞1时，g(t)＞g(1) 0．

又lnt＞0，所以，x1+x2＞2． 13分 再证x1+x2＜3ea 1 1．

因f(x) 0 h(x) ax 1 xlnx 0，故x1，x2也是h(x)的两零点． 由h (x) a 1 lnx 0，得x ea 1(记p ea 1)．

h(p)＞0，

仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值点，故有

x＜p＜x. 12

2(x p)(x p)2

lnp，则h (x) 作函数h(x) lnx ≥0，故h(x)单调递增． x px(x p)2

故，当x＞p时，h(x)＞h(p) 0；当0＜x＜p时，h(x)＜0．

于是，ax2x1 1 x1lnx1＜

1(x1 p)

xp

x1lnp．

1 整理，得(2 lnp a)x21 (2p ap plnp 1)x1 p＞0， 即，x211 (3ea 1 1)x1 ea ＞0．

同理，x2

12 (3ea 1)xa 12 e＜0．

故，x2a 1 12 (3ea 1 1)x2 e＜x21 (3ea 1)x1 ea 1，

(x2 x1)(x2 x1)＜(3ea 1 1)(x2 x1)，

于是，x1 x2＜3ea 1 1．

综上，2＜x1+x2＜3ea 1 1． 分

16

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4 1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，

AH⊥PB于H．

证：连AC，AB．

B．[选修4 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

因BC为圆O的直径，故AC⊥AB． 又AH⊥PB，故AH2 CH·HB，即

（第21（A）题）

求证：PA·AH PC·HB．

AHHB

．

CHAH

5分

因PA为圆O的切线，故∠PAC ∠B． 在Rt△ABC中，∠B+∠ACB 0°． 在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB 0°． 所以，∠HAC ∠B． 所以，∠PAC ∠CAH， 所以，所以，

（第21（A）题答图）

PCPAAHPA

，即．

CHAHCHPC

PAHB

，即PA·AH PC·HB．

PCAH

10分

01

，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵M 1

0 2 点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A ，B ，C ，求△A B C 的面积．

2

0 0 2 0 1

解：因M ，M ，M 1，

0 0 0 1 2

2

1

即A (0，0)，B (0， 1)，C (2， )． 6分

2

1

故S A B 2 1． 10分

2

C．[选修4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

x rcos ，

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数，r为常数，r＞0）．以

y rsin ，

原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程

为

cos( ) 2 0．若直线l与曲线C交于A，B

两点，且AB ，求r的值．

4

解

cos( ) 2 0，得 cos sin 2 0，

4

即直线l的方程为x y 2 0． 3分 x rcos ，由 得曲线C的普通方程为x2 y2 r2，圆心坐标为(0,0)， 6分 y rsin ，

所以，圆心到直线的距离d

AB ，则r 2． 10分

D．[选修4 5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：

14936

． ≥

a bb cc da d

证：因a＞b＞c＞d，故a b＞0，b c＞0，c d＞0．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 ．．．．．．． 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1 2AB． （1）求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；

（2）点E在侧棱AA1上，若二面角E BD C1AE

求的值． AA1

AD49 12 故[(a b) (b c) (c d)] ≥(1 2 3) 36， 6分 a bb cc d

所以，

14936

． 10分 ≥

a bb cc da d

C1 1

（第22题）

C

解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示空间直角坐标系D xyz． 设AB 1，则D（0，0，0），A（1，0，0）， B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），

A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．

（1）设AD1与面BB1D1D所成角的大小为 ，

2分

AD1 ( 1，， 0 2)，

设平面BB1D1D的法向量为n （x，y，z），

DB (1,1,0)，DD1 (0,0,2)，则n DB 0,n DD1 0，即x y 0,z 0． 1， 0)，sin |cos AD1,n | |令x 1，则y 1，所以n (1，

AD1 n|AD1||n|

|

，

所以AD1与平面BB1D1D（2）设E(1，0， )，0≤ ≤2．

． 6分

设平面EBD的法向量为n1 （x1，y1，z1），平面BDC1的法向量为n2 （x2，y2，z2），

DB (1， 1， 0)， DE (1，， 0 )，

由n1 DB 0，n1 DE 0，得x1 y1 0,x1 z1 0， 令z1 1，则x1 ,y1 ，n1 ( , ,1)，DC1 (0,1,2)， 由n2 DB 0，n2 DC1 0，得x2 y2 0，y2 2z2 0， 令z2=1，则x2=2，y2= 2，n2 (2, 2,1)，cos n1,n2

n1 n2 ，

|n1||n2|

AE1

． ，得 1．所以

AA21

10分

23．（本小题满分10分）

袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．

（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)； （2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．

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