y12 y2 1． 又2 ( y1) ( y2) ，故y12 y2
444
22
所以，OB2+OC2 x12 y12 x2 5． y2
14分
方法二
1由①知，k3k4 k1k2 ．
4
4x2
将直线y k3x方程代入椭圆 y2 1中，得x12 ．
1 4k324
2
同理，x2
9分
4
． 2
1 4k4
2 所以，x12 x2
4444
4． 11分 2
1 4k321 4k41 4k321 4( 1)2
4k3
下同方法一．
18．（本小题满分16分）
为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧PQ上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB
长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过．．．．200 m．
（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？
（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2 ，试将运动休闲
区ABCD的面积S表示为 的函数，并求出S的最大值．
200]， 解：（1）设OA m，OB n，m，n (0，
B Q
在△OAB中，AB2 OA2 OB2 2OA OB cos
2
， 3
（第18题）
即2 m2 n2 mn， 2分 4分
(m n)23
所以， (m n) mn≥(m n) (m n)2，
44
2
2
2
所以m n≤100，当且仅当m=n=50时，m n取得最大值，此时△OAB周长取得最大值． 答：当OA、OB都为50 m时，△OAB的周长最大． （2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD
为等腰梯形． 过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E， 则E、F分别为AB，CD的中点，
所以 DOE ，由CD≤200，得 (0 ]．
6OF 200cos ． 在△ODF中，DF 200sin ，
Q
6分
8分
（第18题答图）
又在△AOE中，OE OAcos
25，故EF 200cos 25． 3
10分
1
所以，S 400sin )(200cos 25)
2
8sin )(8cos 1)
8sin 64sin cos ， (0 ]．
6
12分
（一直没有交代范围扣2分）
令f( ) 8sin 64sin cos ， (0 ]，
6
f ( ) 8cos 64cos2 16sin( ) 64cos2 ， (0 ]，
66
又y= 16sin( )及y=cos2 在 (0 ]上均为单调递减函数，
66
故f ( )在 (0 ]上为单调递减函数．
6
1
4 )＞0，故f ( )＞0在 (0因f () ]上恒成立，
626
于是，f( )在 (0 ]上为单调递增函数．
6
14分
所以当 答：当
时，f( )有最大值，此时S
有最大值为625(8 ． 6
时，梯形ABCD
面积有最大值，且最大值为625(8 m2． 16分 6
19．（本小题满分16分）
2
an1
已知数列{an}，{bn}中，a1=1，bn (1 2) ，n∈N ，数列{bn}的前n项和为Sn．
an 1an 1
（1）若an 2n 1，求Sn；
（2）是否存在等比数列{an}，使bn 2 Sn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出所有满足条件
的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）若a1≤a2≤ ≤an≤ ，求证：0≤Sn＜2．
2分 4分
113
解：（1）当an 2n 1时，bn (1 ) n n 2．
422
31
所以，Sn (1
82
133
) n 2． n 1242
（2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=( 1)n 1． 证明：在bn 2 Sn中，令n=1，得b3=b1． 设an=qn 1，则bn=(1 由b3=b1，得(1
11
)． q2qn
6分
1111) (1 )． q2q3q2q
若q= 1，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=( 1)n 1． 8分 若q 1，则
11
，即q2 =1，矛盾． 3qq
综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=( 1)n 1． 10分
2
anan
（3）因1=a1≤a2≤ ≤an≤ ，故an＞0，0＜≤1，于是0＜2≤1．
an 1an 12
an1
所以，bn (1 2) ≥0，n 1，2，3， ．
an 1an 1
所以，Sn b1+b2+ +bn≥0． 13分
2
aaan11
又，bn (1 2) (1 n)(1 n)
an 1an 1an 1an 1an 1
(1
an1a111
)( ) n≤2( )． an 1anan 1an 1anan 1
1111
) 2( ) a1a2a2a3
2(
11
) anan 1
故，Sn b1+b2+ +bn≤2(
2(
111 ) 2(1 )＜2． a1an 1an 1
所以，0≤Sn＜2．
16分
20．（本小题满分16分）
已知函数f(x) a
1
． lnx（a∈R）
x
（1）若a=2，求函数f(x)在(1，e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）； （2）若f(x)恰有一个零点，求a的取值集合；
（3）若f(x)有两零点x1，x2(x1＜x2)，求证：2＜x1+x2＜3ea 1 1．
解：（1）由题设，f (x)
1 x
，故f(x)在(1，e2)上单调递减． 2x
2分
所以f(x)在(1，e2)上至多只有一个零点． 又f(1)f(e2) 1 ( （2）f (x)
1
)＜0，故函数f(x)在(1，e2)上只有一个零点． 4分 2e
1 x
，令f (x) 0，得x 1． x2
)上单调递减； 当x＞1时，f (x)＜0，f(x)在(1，
当0＜x＜1时，f (x)＞0，f(x)在(0，1)上单调递增，
故[f(x)]max f(1) a 1． ①当[f(x)]max 0，即a 1时，因最大值点唯一，故符合题设； ②当[f(x)]max＜0，即a＜1时，f(x)＜0恒成立，不合题设； ③当[f(x)]max＞0，即a＞1时，一方面， ea＞1，f(ea)
6分 8分
1
＜0； ea
另一方面， e a＜1，f(e a) 2a ea≤2a ea＜0(易证：ex≥ex)， 于是，f(x)有两零点，不合题设．
综上，a的取值集合为{1}． 10分 （3）证：先证x1+x2＞2． 依题设，有a 记
x xx11
lnx1 lnx2，于是21 ln2． x1x2x1x2x1
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