心中有梦，美丽就不再遥远。
典型例题1——球的截面
例1 球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB?18，BC?24、AC?30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，?ABC是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式r2?R2?d2求出球半径R．
解：∵AB?18，BC?24，AC?30，
∴AB2?BC2?AC2，?ABC是以AC为斜边的直角三角形． ∴?ABC的外接圆的半径为15，即截面圆的半径r?15， 又球心到截面的距离为d?12R，∴R?(212R)?15，得R?103．
22∴球的表面积为S?4?R2?4?(103)2?1200?．
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式r?R?d解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．
【练习】过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60?，若球半径为R，求弦AB的长度．
C、由条件可抓住A?BCD是正四面体，A、则球心在正四面体中心，设AB?a，B、D为球上四点，则截面BCD与球心的距离d?(33a)?R?(222263263a?R，过点B、C、D的截面圆半径r?R．
33a，所以
63a?R)得a?2典型例题2——球面距离
例2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．
A．有且只有一个 B．一个或无穷多个 C．无数个 D．以上均不正确
分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B．
例3 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
4?，求这个球的半径．
16，经过3个点的小圆的周长为
分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．
设球的半径为R，小圆的半径为r，则2?r?4?，∴r?2． 如图所示，设三点A、B、C，O为球心，
2??OB是等边三角形，?AOB??BOC??COA??．又∵OA?OB，∴?A63同样，?BOC、?COA都是等边三角形，得?ABC为等边三角形，边长等于球半径R．r为?ABC的外接圆半径，r?333说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．
?例4 A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为R，求过A、B的平面中，与
2球心的最大距离是多少？
??分析：A、B是球面上两点，球面距离为R，转化为球心角?AOB?，从而AB?2R，由关
22AB?33R，R?3r?23．
系式r?R?d，r越小，d越大，r是过A、B的球的截面圆的半径，所以AB为圆的直径，r最小．
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解：∵球面上A、B两点的球面的距离为
?2R． ∴?AOB??2，∴AB?2R．
当AB成为圆的直径时，r取最小值，此时r?d?R?r2212AB?22R，d取最大值，
22R．
?22R， 即球心与过A、B的截面圆距离最大值为
说明：利用关系式r2?R2?d2不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r与球心到截面的距离d之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角?AOB有关，而球心角?AOB又直接与AB长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索．
典型例题3——其它问题
例5．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求MA2?MB2?MC2的值．
分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．
解：以MA,MB,MC为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥M?ABC补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．
?MA2?MB2?MC=(2R)?4R．
222说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．
例6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．
分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系． 解：设球的半径为r，正方体的棱长为a，它们的体积均为V， 则由
4?3r23?V,r3?3V4?2，r?333V4?2，由a3?V,得a?3V．
2S球?4?r?4?(333V4?)?24?V． S正方体?6a2?6(3V)2?63V，即S球?S正方体．
?3216V2．
?4??216?4?V?3216V2
典型例题4——球与几何体的切、接问题
例7 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．
解：如图作轴截面，设球未取出时水面高PC?h，球取出后，水面高PH?x
3r，PC?3r，
AB为底面直径的圆锥容积为
11223V圆锥???AC?PC??(3r)?3r?3?r，
33111223球取出后水面下降到EF，水体积为V水???EH?PH??(PHtan30?)PH??x．
33933又V水?V圆锥?V球，则?x?3?r?∵AC?则以
19433?r， 解得x?315r．
例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．
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分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．
解：如图，正四面体ABCD的中心为O，?BCD的中心为O1，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．
设OO1?r,OA?R，正四面体的一个面的面积为S．
依题意得VA?BCD?13?R?r?4r即R?3r．
S(R?r)， 又VA?BCD?4VO?BCD?4?13r?S
4所以
内切球的表面积外接球的表面积?4?r4?R22?19．
内切球的体积外接球的体积?34?r?R3?3127．
3说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正
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