高考数学第一轮复习资料 基本不等式及其应用

第33讲 基本不等式及其应用 第33讲 基本不等式及其应用 要点 梳 理 式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件. 综合法证明不等式的逻辑关系是：A?B1?B2??Bn?B，及从已知条件 一．基本不等式 定理1：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（当且仅当a?b时取“?”）. 说明：（1）指出定理适用范围：a,b?R；（2）强调取“?”的条件a?b. 定理2：如果a,b是正数，那么a?b?ab（当且仅当a?b时取“=”） 2说明：（1）这个定理适用的范围：a?b（2）我们称a,b?R?；为a,b的算术平均2数，称ab为a,b的几何平均数即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a,b?R，则|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|; a,b?R，则(a?b)2?0?a2?b2?2ab; x,y,z?R?，x?y?2xy，m x?y?z?3xyz 二、常用的证明不等式的方法 （1）比较法 比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负. （2）综合法 利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等 考点剖析 A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B. （3）分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法. （1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”； （2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程 三．最值定理 设x＞0，y＞0，由x＋y≥2xy. (1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y有最小值2P； (2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy有最大S值(2)2. 即：积定和最小，和定积最大． 运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． ∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，从而得证. 证法二：(比较法) ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab， ∴ab≤， 1125a2?1b2?125(a?)(b?)???? ab4ab4- 163 -

利用基本不等式证明不等式 【例1】已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求证: 14(a+1251)(b+)≥. ba4【证明】证法一： (分析综合法） 欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0， 即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8 1414

“功夫”文科第一轮复习资料 4a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)???04ab4ab 1125?(a?)(b?)? ab4【点评】比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 【拓展练习】1.(2015福建文5)若直线xy??1(a?0b,?0过点)(1,1)，则a?b的最ab小值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】证法一：(综合法) 11由已知得??1， ab11ba则a?b=(a?b)(?)?2?+，因为ababbabaa?0b,?0，所以+?2?=，2故ababbaa?b?4，当=，即a?b?2时取等号． ab证法二：(三角代换法) 1111?0, 由已知得??1且?0,abab11可设?sin2?,?cos2? ab11cos2??sin2??则a?b?2? 222sin?cos?sin?cos? 14???4 22sin2??1?2sin?cos??????2?故a?b?4，当a?b?2时取等号． 【考点定位】基本不等式． 【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式，利用直线过点寻求变量a,b关系，进而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正，等，定”，属于中档题．本题还可转化为一元二次方程，再用判别式法求解。 利用基本不等式求函数最值 【例2】(2015湖南文7)若实数a,b满足12??ab，则ab的最小值为( ) ab- 164 -

A、2 B、2 C、22 D、4 12??ab，?a＞0，b＞0，【解析】 ab122b?a22ab22 ?ab?????,abababab，所?ab?22（当且仅当b?2a时取等号）以ab的最小值为22，故选C. 【考点定位】基本不等式 【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进【拓展练习】2.(2015天津文12)已知a?0,b?0,ab?8 ,则当a的值为 时log2a?log2?2b?取得最大值. ?loga?log2?2b??【解析】log2a?log2?2b???2? 2??1122??log22ab???log216??4,当a?2b时44取等号,结合a?0,b?0a,b?可得 a?4b,? 2【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用. 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性. 3.(2015·山东文14)定义运算“?”：x2?y2(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，x?y?xyy＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________． 【解析】 x2?y2由x?y?，得xyx2?y24y2?x2x?y＋(2y)?x＝ ?xy2xyx2?2y2＝.因为x＞0，y＞0，所以2xy 第33讲 基本不等式及其应用 2x2?2y2x2?2y2≥＝2xy2xyx?2y时，等号成立． 2，当且仅当且仅当800x＝，即x＝80时“＝”成立，∴每x8批应生产产品80件，故选B. 典型错例. 【考点】1.新定义运算；2.基本不等式. 利用基本不等式解决实际问题 【例3】(2014·福建文9)要制作一个容积为4 3m，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 【解析】 设容器的底长x米，宽y米，则xy＝4. 4所以y＝x，则总造价为： 80f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x x4??＝20?x??＋80，x∈(0，＋∞)． x??4所以f(x)≥20×2 x?＋80＝160， x4当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立． x所以最低总造价是160元．．C 【拓展练习】4.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产xx件，则平均仓储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 【解析】.每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是用是800元，每件产品的仓储费x已知：a?0b,?22 ,a?b?1,求1??1??a??b?????的最小值. a??b??221??1??【错解】?a????b?? a??b??=a2+b2+≥2ab+11++4 a2b212ab?+4≥4+4=8 abab221??1??∴?a????b??的最小值是8 a??b??【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的1条件是a?b?,第二次等号成立的条件2ab=1，显然，这两个条件是不能同时成立ab1a2的.因此，8不是最小值. 【解析】：原式= a2+b2+ =(a2 +b2)+(+1b2+4 11+)+4 22ab =[(a?b)2?2ab]+ [(1122+)-]+4 abab1 =(1-2ab)(1+22)+4 ab11a?b21由ab≤()= 得：1-2ab≥1-=,且222411≥16，1+22≥17 a2b2ab1251 ∴原式≥×17+4= (当且仅当a?b?2221212时，等号成立)∴(a+)+(b+)的最小ab25值是. 2 【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最x800x800x元，则＋≥2?＝20，当8x8x8 - 165 -

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