（三）基于矩阵乘分解算法
将系数矩阵A分解成A=FT，方程Ax=b化为Fy=b和Tx=y两个方程组的并行求解。这种算法又可以分为两类：
1.重叠分解。如Wang的分裂法及其改进算法就属于这一类。P.Amodio在1993年对这类算法进行了很好的总结，用本地LU、本地LUD和本地循环约化法求解，并在1995年提出基于矩阵乘分解的并行QR算法。H.Michielse和A.Van der Vorst改变Wang算法的消元次序，提出了通信量减少的算法。李晓梅等将H.Michielse和A.Van der Vorst算法中的通信模式从单向串行改为双向并行，提出DPP算法，是目前最好的三对角方程组分布式算法之一。2000年骆志刚等中依据DPP算法，利用计算与通信重叠技术，减少处理机空闲时间取得了更好的并行效果。此类算法要求解P-1阶缩减系统。
2.不重叠分解。例如Lawrie & Sameh算法、Johsoon算法、Baron算法、Chawla在1991年提出的WZ分解算法以及Mattor在1995年提出的算法都属于这一类。此类算法要求解2P-2阶缩减系统。
（四）基于矩阵和分解算法
将系数矩阵分解成A=Ao+△A，这类算法的共同特点是利用Sherman & Morrison公式将和的逆化为子矩阵逆的和。按矩阵分解方法，这种算法又可分为两类：
1.重叠分解。这类算法首先由Mehrmann在1990年提出，通过选择好的分解在计算过程中保持原方程组系数矩阵的结构特性，具有好的数值稳定性，需要求解P-1阶缩减系统。
2.不重叠分解。Sun等在1992年提出的并行划分LU算法PPT算法和并行对角占优算法PDD算法均属于这一类。需要求解2P-2阶缩减系统。其中PDD算法的通讯时间不随处理机的变化而变化，具有很好的可扩展性。X.H.Sun和W.Zhang在2002年提出了两层混合并行方法PTH ，其基本思想是在PDD中嵌入一个内层三对角解法以形成一个两层的并行，基本算法是PDD，三对角系统首先基于PDD分解。PTH算法也具有很好的可扩展性。
四、并行求解三对角系统的迭代解法
当稀疏线性方程组的系数矩阵不规则时，直接法在求解过程中会带来大量非零元素，增加了计算量、通信量和存储量，并且直接法不易并行，不能满足求解大规模问题的需要。因此通常使用迭代法来求解一般系数线性方程组和含零元素较多三对角线性方程组。迭代法包括古典迭代法和Krylov子空间迭代法。
古典迭代法包括Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR等方法。通常采用红黑排序、多色排序和多分裂等技术进行并行计算。由于古典迭代法有收敛速度慢、并行效果不好等缺点，目前已较少用于直接求解大型稀疏线性方程组，而是作为预条件子和其它方法（如Krylov子空间方法）相结合使用。
Krylov子空间方法具有存储量小，计算量小且易于并行等优点，非常适合于并行求解大型稀疏线性方程组。结合预条件子的Krylov子空间迭代法是目前并行求解大型稀疏线性方程组的最主要方法。
给定初值X0，求解稀疏线性方程组AX=Y。设Km为维子空间，一般投影方法是从m维仿射子空间X0+Km中寻找近似解Xm使之满足Petrov-Galerkin条件
Y-AXm┻Lm
其中Lm为另一个维子空间。如果Km是Krylov子空间，则上述投影方法称为Krylov子空间方法。Krylov子空间Km(A，r0)定义为：
Km(A，r0)=span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}
选取不同的Km和Lm就得到不同的Krylov子空间方法。主要算法包括四类：基于正交投影方法、基于正交化方法、基于双正交化方法、基于正规方程方法。
Krylov子空间迭代法的收敛速度依赖于系数矩阵特征值的分布，对于很多问题，直接使用迭代法的收敛速度特别慢，或者根本不收敛。因此使用预条件改变其收敛性，使中断问题可解，并加速收敛速度是需要的。目前人们研究的预条件技术可分为四类：采用基于矩阵分裂的古典迭代法作为预条件子、采用不完全LU分解作预条件子、基于系数矩阵近似逆的预条件子、结合实际问题用多重网格或区域分解作预条件子。对Krylov子空间和预条件Krylov子空间方法有详细的讨论。
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