e■（？琢-1）（q■+q■+…+q■）■q■+e■（q■+q■+…+q■）■-c■-？姿■=0 （11）
现在考虑美国页岩油开采商的决策。对于页岩油开采商i来说，目标函数为：
max■[p（q■+q■+…+q■）q■-c■e■q■]e■dt （12）
其中，成本c1以利率的速度增长。限制是：
■q■（t）dt≤S■ （13）
把（8）带入（12），并把λi作为限制条件（13）的拉格朗日算子，页岩油开采商i的最优控制问题可表示为：
max■[e■（q■+q■+…+q■）■q■-c■q■-？姿■q■]dt （14）
页岩油开采商i的最优决策（反应函数）应该为：
e■（？琢-1）（q■+q■+…+q■）■q■+e■（q■+q■+…+q■）■-c■-？姿■=0 （15）
现在求解纳什平衡。所有博弈参与者的反应函数由（11）和（15）共n+1个方程确定。联立这些方程，因为对称性，可知q1=q2=q3=…=qn，λ1=λ2=λ3=…=λn。可求得纳什平衡：
q■=■[■]■[■-1] （16）
q■=q■=…=q■=■[■]■[■-1] （17）
现在我们重点关注q0。q0可以写成：
q■=ke■ （18）
其中，k是恰能使之满足（19）的正实数。
■q■（t）dt≤S■ （19）
另外，总产量为：
q■+nq■=e■[■]■ （20）
四、比较分析
比较II和III中的结果，我们发现（18）、（19）和（6）、（7）完全相同。即页岩油革命不应该改变OPEC的开采计划。这是因为，对于石油开采这样总量受限的垄断供应中，在恒定弹性假设下，垄断企业的行为和完全竞争市场的行为完全相同（Stigliz，1976）。 对于总量受限的垄断供应企业，其行为不能和完全竞争市场中企业的行为区分开来。很自然的想到，当市场中企业数量增加，其行为仍然会是完全竞争市场中企业的行为模式，所以并不会改变。
对应到国际石油市场博弈中，竞争对手的进入（页岩油）不应该影响OPEC的开采计划。所以，我们所观察到的OPEC增产决定，可能仅仅是无效信号，或不可信的恐吓。可以预期，一段时间过后，OPEC的产量会恢复到页岩油革命之前的水平。随着产量的恢复，国际油价也会在一定的程度上恢复。
但需要注意的是，OPEC的开采计划不变，但总产量却增加了。根据恒弹性假定，这意味着油价的降低。可以预期，在国际油市重新取得平衡时，油价的新平衡位置会低于页岩油革命之前的水平。图1中页岩油革命前的开采计划（左）和页岩油革命后的开采计划（右）；由S0标示的OPEC开采计划不变，但总产量（S0+nS1）增加。（图1）
五、结论
在弹性恒定、成本以 本文由wWw.DyLw.NeT提供，第一论 文 网专业代写教育教学论文和论文代写以及发表论文服务，欢迎光临dYlw.nET利率的速度随时间增加两个假定下，面对页岩油革命的威胁，OPEC没有理由增加产量。模型显示，OPEC的开采计划将不会改变。与页岩油革命之前的水平对比，总产量将增加，价格将降低。
主要参考文献：
[1]J.E.Stiglitz，Monoply and the Rate of Extraction of Exaustible Resources，The American Economic Review，Vol.66，No.4，Sept.1976.
[2]P.Dasgupta and J.E.Stiglitz，Uncertainty and the Rate of Extraction Under Alternative Arrangements，Institute Mathematical Studies in the Social sciences （IMSSS），tech.rep.no.79，Sept.1975.
[3]U.Chakravorty，M. Moreaux，and M. Tidball，Ordering the Extraction of Polluting Nonrenewable Resources，The American Economic Review，Vol.98，No.3，June 2008.
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