高中数学课本回归精析

高中数学课本回归精析

一、集合与逻辑

1、区分集合中元素的形式：如：

?x|y?lgx?—函数的定义域；?y|y?lgx?—函数的值域；

N＝

?(x,y)|y?lgx?—函数图象上的点集，

如：（1）设集合M?{x|y?x?3}，集合

?y|y?x2?1,x?M?，则MN?___ （答：

[1,??)

（2）集合M?xy? （答：{1}）

2、条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了如：（1）若非空集合

??????x2?4x?3，集合N???yy?sinx?3cosx,x???,?? M??63???N?

A??的情况

，

A?{x/2a?1?x?3a?5}B?{x/(x?3)(x?22)?0}，则使得

A?A?B成立的a的集合是____________________ （答：6?a?9）

（2）集合M={x/x2?4x?a?0},N ={x/x2?x?2?0},若M?N，则实数

A??的情况）

a的取值范围为

___________（条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了

（答：a?3）

（3）A?{x|ax2?2x?1?0}，如果A?R???，求a的取值。 （答：a≤0） 3、A?B?{x|x?A且x?B};A?B?{x|x?A或x?B}

CUA={x|x∈U但x?A};A?B?x?A则x?B;真子集怎定义？如：含n个元素的集合的子集个数为2,真

n

子集个数为2－1; 如：满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 （答：7）

n

4、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;

5、A∩B=A?A∪B=B?A?B?CUB?CUA?A∩CUB=??CUA∪B=U 6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如：（1）若关于x的不等式|（2）已知函数

则a的取值范围是_______ （答：a?3） x?2|?|x?1|?a的解集是?，

f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c，使

3f(c)?0，求实数p的取值范围。 （答：(?3,)）

27、原命题: p?q;逆命题: q?p;否命题: ?p??q；逆否命题: ?q??p；互为逆否的两个命

题是等价的.

si如：（1）“n??nsi?”是“???”的 条件。（答：充分非必要条件）

（2）设命题

p:“已知函数f(x)?x2?mx?1,?x0?R,?y0?0，使得f(x0)?y0，命题q：“不

1

等式

x2?9?m2有实数解”，若?p且

q为真命题，则实数m的取值范围为_______ （答：

(?3,?2]?[2,3)）

8、若

p?q且q?p;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）;

如：写出“可）

x?1?2成立”的一个必要而不充分条件___________ （答：比(?1,3)范围大即

9、注意命题

p?q的否定与它的否命题的区别:

命题p?q的否定是p??q；否命题是?p??q

命题“p或q”的否定是“P且Q”，“p且q”的否定是“P或Q” 注意：如：命题：“若a和b都是偶数，则a?????b是偶数”

否命题：“若a和b不都是偶数，则a?b是奇数” 命题的否定：“若a和b都是偶数，则a?b是奇数”

二、函数与导数

1、指数式、对数式：

a?amnnm， a?mn?1man，

当n为奇数时，n?a,a?0. lg2?lg5?1 an?a；当n为偶数时， nan?|a|????a,a?0a0?1(a?0)log(am)(bn)?logab?，

ab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0),

，

logaab?bloga，

alogaN?N,

nlogabmloga(MN)?logaM?logaN;

M?log?aMNlaNog;

1

logba2(如：

1）

1log)28的值为________ （答：164） (lg2)3（答：?3lg2?lg5?(lg5)3=

2、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数; 3、二次函数

bb4ac?b2,));顶点式①三种形式:一般式f(x)=ax+bx+c(对称轴x??,a≠0,顶点(?2a2a4a2

f(x)=a(x-h)+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(对称轴x2?x1?x22);b=0偶函数;

②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：(1) 已知函数

(答:af?x??4x2?4ax?a2?2a?2在区间

?0,2?上有最小值

3，求

a的值

?1?2,5?10)

2

（2）若函数

y?12x?2x?4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则b＝ （答：2） 2③实根分布:先画图再研究①开口、②△>0、③对称轴与区间关系、④区间端点函数值符号; 4、反比例函数:y?cac(中心为(b,a)) ，对勾函数y?x?是奇函(x?0)平移?y?a?x?bxx0),(0，??)上为增函数，a?0时,在(0，a],[?a,0)递减 在(??，数,a?0时,在区间(??，?a],[a,??)递增

5、幂、指数、对数函数的图象和性质： （1）若a?20.5，b?logπ3，c?log2sin2π5,则a,b,c的大小关系为 （答：

c?b?a）

（2）设a???11，，，3?，则使函数

??1?2?y?xa的定义域为R且为奇函数的所有a值为 （答：1

或3）

（3）不等式lg(x?1)?1的解集是 方程9x?6?3x?7?0的解是 （答:(1,11) {log37}）

（4）函数3个）

?4x?4， x?1，的图象和函数g(x)?log2x的图象的交点个数是 （答：f(x)??2x?4x?3，x?1??（5）、幂函数y=x，当?取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x，y=x的图像三等分，即有BM=MN=NA．那么，??=_______ （答：1） （6）、设二元一次不等式组

??y B M N x A ?x?2y?19?0?x?x?y?8?0所表示的平面区域为M，若函数y?a(a?0,a?1)的图象没有经过域?2x?y?14?0?M,则a的取值范围 （答：0?a?1,1?a?2,a?9）

6、单调性①定义法;②导数法. （1）设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?减函数.

如：（1）已知函数

f(x)?x3?ax在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是____ (答：(??,3]))；

3

f(x)?|x|?|x?a|在[0,??)上为增函数，则a的取值范围为_______ （答：a?0）

(2) 函数注意①：f但

?(x)?0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)?x3在(??,??)上单调递增，

f?(x)?0，∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

注意②：函数单调性与奇偶性的逆用吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.

如：已知奇函数

（答：?f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。

12?m?） 23③复合函数由同增异减判定 ④图像判定. ⑤作用:比大小,解证不等式. 如：（1）函数

（1,2）)。 y?log1??x2?2x?的单调递增区间是________(答：

2（2）若函数

1f(x)?loga(x3?ax)(0?a?1)在区间(?,0)内单调递增，则a的取值范围是

23________________ (答： [,1))

47、奇偶性：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

x如：（1）若函数f(x)?k?2x（a为常数）在定义域上为奇函数，则k= （答：k1?k?2??1）

（2）定义在R上的偶函数

f(x)在(??,0]上是减函数，若f(a?1)?f(2?a)，则a的取值范围是

_______________ （答：a?3） 2（3）已知函数y=f(x),x∈[－1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示）, 则不等式的

f(?x)?f(x)?23x的解集为

（答：[?1,?（4）已知函数

11)?(0,)） 22

f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)?0，

xf?(x)?f(x)2（x?0）?0，则不等式xf(x)?0的解集是 （答：(?1,0)?(1,??)） 2x8、周期性。

（1）类比“三角函数图像”得：

如：已知定义在R上的函数个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义“函数

f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)?0在[?2,2]上至少有_________

f(x)满足f?x??f?a?x?(a?0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得： ①函数f(x)满足?f?x??f?a?x?，则f(x)是周期为2a的周期函数；

1②若f(x?a)?(a?0)恒成立，则T?2a；

f(x)4

③若

f(x?a)??1(a?0)恒成立，则T?2a. f(x)如：(1) 设

当0?x?1时，f(x)?x，则f(47.5) f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，

等于_____(答：?0.5)； （2）若

f(x)是

R上的偶函数，

f(x?1)是

R上的奇函数，则

f(x?4)与f(x)的大小关系为

_____________________ （答：（3）定义在R上的偶函数

角形的两个内角，则

9、常见的图象变换

①函数位得到的。

f(x?4)?f(x)）

是锐角三

f(x)满足f(x?2)?f(x)，且在[?3,?2]上是减函数，若?,?f(sin?),f(cos?)的大小关系为_________ (答：f(sin?)?f(cos?))

y?f?x?a?的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左(a?0)或向右(a?0)平移a个单

y?lg(3?x)的图像，只需作y?lgx关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位

而得到(答：y；右)；

（2）函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个(答：2)

②函数y?f?x?+a的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上(a?0)或向下(a?0)平移a个单

如：（1）要得到位得到的；

③函数

y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来的

y?f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的

1a得到的。

如：（1）将函数

1（纵坐标不变），再将此图像沿x轴方向3向左平移2 个单位，所得图像对应的函数为_____(答：f(3x?6))；

1（2）如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是_______(答：x??)．

2④函数y?af?x?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

①满足条件

10、函数的对称性

f?x?a??f?b?x?的函数的图象关于直线x?f(x)?ax2?bx(a?0)满足条件

12则f(x)＝_____ (答：?x?x)；

2②点(x,y)关于y轴的对称点为(?x,y)；函数y?f?x?关于y轴的对称曲线方程为y?f??x?； ③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)；函数y?f?x?关于x轴的对称曲线方程为y??f?x?； ④点(x,y)关于原点的对称点为；函数y?f?x?关于原点的对称曲线方程为y??f??x?； ⑤点(x,y)关于直线y??x?a(?x,?y)的对称点为(?(y?a),?x?a)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x?a的对称曲线的方程为f(?(y?a),?x?a)?0。

特别地，点(x,y)关于直线y?x的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)?0关于直线y?x的对称曲线的方

)关于直线y??x的对称点为(?y,?x)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x的程为f(y,x)?0；点(x,y对称曲线的方程为f(?y,?x)?0。

如：已知二次函数

a?b对称。 2f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x有等根，

5

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