高中数学新教材变式题4：《三角》

四、三角函数

1．（北师大版第59页A组第2题）正弦定理与余弦定理

在?ABC中，若 ?a?b?c??c?b?a??3bc，则A??????．

?A． 150 B．120 C． 60 D． 30

?变式1：在?ABC中，若 a?13，c?4，A?60，则b?__________．

答案：1或3

变式2：在?ABC中，若 b?2，A?30?，C?105?，则此三角形的周长为__________．

答案：32?6?2 2变式3：已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a=4，b=5，S=5

求c的长度． 解：∵S＝

3，

13absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120° 22又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，

当∠C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝当∠C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝∴c的长度为

21

61

21或61

2．（北师大版第63页A组第6题）三角形中的几何计算

?B的平分线交过点A且与BC平行的线于点D．AB?AC?3，BC?2，在?ABC中，求

?ABD的面积． 变式1：已知△ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?2sinC．

（I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为

1sinC，求角C的度数． 6解：（I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?2?1，

BC?AC?2AB，

两式相减，得AB?1．

（II）由△ABC的面积

12BC?AC?sinC?16sinC，得BC?AC?13， 由余弦定理，得cosC?AC2?BC2?AB22AC?BC

?(AC?BC)2?2AC?BC?AB22AC?BC?12， 所以C?60?． 变式2：△ABC中，A??3,BC?3,则△ABC的周长为（ ）．

A．43sin(B??)?3 B．43sin(B??36)?3

C．6sin(B??)?3 ?3D．6sin(B?6)?3 解：在?ABC中，由正弦定理得：

ACsinB?33,化简得：AC=23sinB, 2AB3sin[??(B???23，化简得：AB=23sin(?3?B)， 3)]2所以三角形△ABC的周长为：3+AC+AB=3+23sinB+23sin(2?3?B) =3+33sinB?3cosB?6sin(B??6)?3

故选D

变式3：在?ABC中，?B?45?,AC?10,cosC?255，求（1）BC??D是AB的中点，求中线CD的长度。 解：（1）由cosC?2555得：sinC?5 sinA?sin(180??45??C)?23102(cosC?sinC)?10， BC?AC由正弦定理知:

sinB?sinA?102?31010?32， 22）若点（（2）

AB?AC105?sinC???21，BD?AB?1 sinB2522由余弦定理知：

CD?BD2?BC2?2BD?BCcosB2?1?18?2?1?32??132

3．（北师大版第69页练习2第2题）解三角形的实际应用

某观察站B在城A的南偏西20的方向，由A出发的一条公路走向是南偏东40，在B

处测得公路上距B31km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km。这个人要走多少路才能到达A城？ 变式1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向

相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船 立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30， 相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少 度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？ 解析：连接BC,由余弦定理得： BC=20+10－2×20×10COS120°=700. 即BC=107 ∵

2

2

2

??北

??A 10 ?C 20 B

?

sin?ACBsin120??，

20107∴sin∠ACB=

3， 7? ∵∠ACB<90°，∴?ACB?41．

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．

变式2：如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现

测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．

解：在△BCD中，?CBD?π????．

由正弦定理得：所以BC?BCCD?．

sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs.sin??．

sin?CBDsin(???)s.tan?sin?．

sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?变式3：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，

20海里，当甲当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距

船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距

北 ??102海里，问乙船每小时航行多少海里？

解法一：如图，连结A1B2，由已知A2B2?102，

120? A2

1B2 105? A

甲

B1 乙

20A1A2?302??102，

60北 120? A

2?A1A2?A2B1，

又∠A1A2B2?180?120?60，

???B2 105? B1 乙 A1

甲

?△A1A2B2是等边三角形，

?A1B2?A1A2?102，

由已知，A1B1?20，

∠B1A1B2?105??60??45?，

在△A1B2B1中，由余弦定理，得：

22B1B2?A1B12?A1B2?2A1B2?A1B2?cos45?

?202?(102)2?2?20?102??200．

2 2?B1B2?102．

因此，乙船的速度的大小为

102． ?60?302（海里/小时）

20答：乙船每小时航行302海里．

A1A2?302?解法二：如图，连结A2B1，由已知A1B1?20，

20?102， ∠B1A1A2?105?，60cos105??cos(45??60?)

?cos45?cos60??sin45?sin60?

2(1?3)， ?4北 120? A

2sin105??sin(45??60?)

?sin45?cos60??cos45?sin60?

B2 105? A

1B1 乙 甲

?2(1?3)．

4在△A2A1B1中，由余弦定理，

2A2B12?A1B12?A1A2?2A1B1?A1A2?cos105?

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