信号与系统论文 傅里叶变换的分析(1)

拉普拉斯变换与傅里叶变换关系

专业：电气工程及其自动化

姓名：武永春

学号：1109141049

指导老师：董德智

1

对信号单边拉普拉斯变换与傅里叶变换关系的探讨

摘要：

在传统的信号与系统理论中，单边拉氏变换和傅氏变换关系存在瑕疵。文中给出的单边拉氏变换和傅氏变换关系的理论克服了传统理论的瑕疵。

关键词：拉普拉斯变换；傅里叶变换；单极点；重极点 引言：

设 f(t)为有始信号，则 变换

(

(S)的单边拉氏变换凡与f(t)的傅氏

(S)的

)之间有一定联系。这种联系依据f(t)的拉氏变换的值不同而分成三种情况：

收敛横坐标

(1)>0，拉氏变换存在而傅氏变换不存在； (2)<0,(3)

(S)=0，(S)

=

(≠)； (

)，但

(S)与

(

)都存在，且有一=O时，(

)

定的关系。传统的理论在上述第(3)种情况下，即：当与

(S)之间关系的推导和表述存在瑕疵，理论上不严谨。当

(S)与

(

2

=0时，

如何严谨地推导和表述

)之间的关系便是笔者所做的

工作。 正文： 1、

=0时，

(S)与(

(

)之间关系的传统理论

=0时，(S)与)之间关系分为三种情况。

(1)第一种情况 设位于S平面的点都在

轴上的极点都是单极点，共有N个，其余极

轴左侧半平面上，则可写为：

右边第一项

(S) 的极点都位于S平面上

轴左侧半平面上，右边第

二项表示有N个单极点位于 轴上。上式的拉氏反变换为：

再作傅氏变换：

3

(2)第二种情况 设S平面的面上，则

轴上有一个n重极点，其余极点都在

轴左侧半平

可写为：

注意到拉氏变换公式:

公式(4)的拉氏反变换为：

注意到傅氏变换公式：

4

公式(5)的傅氏变换为：

(3)第三种情况 设S平面的在

轴上N个极点，它们分别是

重极点，其余极点都

轴左侧半平面上，则可写为:

式(7)右边第一项 拉氏反变换为：

的极点都位于S平面上

轴左侧半平面上。其

2、 对传统理论的改进

我们认为,上述推导从第二种情况开始便出现瑕疵。设S平面 的轴上有一个n重极点，其余极点都在的正确写法为：

5

轴左侧半平面上，公式(4)

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