2.3.2、2.3.3 向量积的运算公式及度量公式 - 图文

张喜林制

2.3.2 向量数量积的运算律

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

考点知识清单

1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：

(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：

(1)(a?b)2? (2)(a?b)2? (3)(a?b)?(a?b)?

3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a?(a1,a2),b?(b1,b2),则a?b? 4．设a?(a1,a2),b?(b1,b2). 如果a?b,则 如果a1b1?a2b2?0,则 对于任意实数k，向量k(?b2?,b1)与向量(b1,b2)垂直．

5．向量a?(a1,a2),b?(b1,b2),则|a|? cos?a,b??

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6．若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB?(x2?x1,y2?y1),所以|AB|? 要点核心解读

1．向量数量积的运算律

(1)a?b?b?a（交换律）；

(2)(?a)?b??(a?b)?a?(?b)（结合律）； (3)(a?b)?c?a?c?b?c（分配律）．

2．向量数量积的运算律的证明

(1)a?b?b?a（交换律）

证明：a?b?|a||b|cos?a,b??|b||a|cos?b,a??b?a,

?a?b?b?a.

(2)?(a?b)?(?a)?b?a?(?b)（结合律）

证明：①?(a?b)??|a||b|cos?a,b?.

②(?a)?b?|?a||b|cos??a,b?.

当??0时，?a与a同向，??a,b??(a,b),

?(?a)?b??|a||b|cos?a,b?.

当??0时，(?a)?b?(0a)?b?0?b?0,

?|a||b|cos?a,b??0,

?(?a)?b??|a||b|cos?a,b?.

当??0时,?a与b反向，(?a,b?????a,b),

?(?a)?b?(??)|a||b|cos[???a,b?]

???|a||b|[?cos?a,b?] ?|a||b|cos?a,b?.

综合以上可得(?a)?b??|a||b|cos?a,b?. ③由②同理可证得：a(?b)??|a||b|cos?a,b?.

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综合以上可得：?(a?b)?(?a)?b?a?(?b)??|a||b|.cos?a,b?.

(3)(a?b)?c?a?c?b?c（分配律）

证明：作轴L与向量c的单位向量c0平行． 如图2-3 -2 -1，作OA?a,AB?b,则OB?a?b.

//设点0、A、B在轴L上的射影为O、A、B,跟据向量的数量积的定义有

OA/?OA?c0?a?c0, A/B/?AB??c0?b?c0, OB/?OB?c0?(a?b)?c0,

但对轴上任意三点O、A/、B/,都有OB/?0A/?A/B/, 即(a?b)?c0?a?c0?b?c0, 上式两边同乘以|c|,由|c|c0?c得：

(a?b)?c?a?c?b?c.

∴ 得证．

3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点

(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．

a?b?b?a.

(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有

(?a)?b??(a?b).

(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律

(a1?a2)?b?a1?b?a2?b.

(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，a.(b?c)?(a?b)?C是错误的，这是因为

a?b与b?c都是数量，所以a?(b?c)与(a?b)?c分别表示a的共线向量和c的共线向量，当然就不能相等．

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(5)由(a?b)?(c?d)?a?c?a?d?b?c?b?d,可得向量的三个运算公式：

(a?b)?(a?b)?|a|2?|b|2, (a?b)2?|a|2?2a?b?|b|2, (a?b)2?|a|2?2a?b?|b|2.

4．向量内积的坐标运算

建立正交基底{e1,e2}.已知a?(a1,a2),b?(b1,b2)，则

a?b?(a1e1?a2e2)?(b1e1?b2e2)?a1b1e1?e1?a1b2e1.e2?a2b1e2.e1?a2b2e2?e2?

因为e1?e1?e2?e2?1,e1?e2?e2?e1?0,所以我们得到数量积的坐标表达式：

5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设a?(a1,a2),b?(b1,b2), 则a?b?a1b1?a2b2?0. 6．向量的长度、距离和夹角公式

2(1)如图2-3 -2 -2，已知a?（a1,a2),则|a|2?a?a?(a1,a2)?(a1,a2)?a12?a2.

因此 ①

这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：

向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．

(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2),则

AB?(x2?x1,y2?y1),从而

②

AB的长就是A、B两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中

得到的两点距离公式完全一样．

(3)设a?(a1,a2),b?(b1,b2),

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则两个向量夹角余弦的坐标表达式

7．如何运用坐标来解决垂直问题

(1)设两非零向量a?(x1,y1),b?(x2,y2),则a?b?x1x2?y1y2?0.

利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．

例如：已知： a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)?0??????),则a?b与a?b是否互相垂直？并说明理由．

解：由已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),有a?b?(cos??cos?,sin??sin?),

a?b?(cos??cos?,sin??sin?),

又(a?b).?a?b)?(cos??cos?)(cos??cos?)?(sin??sin?).(sin??sin?)

?cos2??cos2??sin2??sin2??0.所以(a?b)?(a?b).

(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a与b的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：

a?b?x1x2?y1y2?0;a//b?x1y2?x2y1?0.

8．利用数量积求两个向量的夹角

一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．

设a，b为非零向量，如果a?b?0,那么a，b的夹角为锐角或a，b同向，反之也成立；如果a?b?0, 那么a，b的夹角为钝角或a，b反向，反之也成立，

典例分类剖析

考点1 判断向量运算的正误

[例1] 给出下列命题：①设a、b、c是非零向量，则(a?b)?c与c共线；②若?a??b???R, 且??④若a?c?b.c,则a?b;⑤若a与b共线，则a?b?|a|. ?0),则a?b;③a?b?0与a⊥b是等价命题；

|b|;⑥若a?b?0.则(a,b)是钝角．

其中真命题为 （填序号）．

[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．

①

因为a×b是一个实数，不妨记作?，故(a?b)?c??.C??c//c,所以①正确．

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